C# 統計･微分積分･線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw05
「多項式単項式、整式、分数式、有理式無理式」
についてもメモ。
ここでは、
「×」を「＊」
「÷」や「分数」を「／」
で表現します。
各「式」の区分図解
注意：
この図では「変数」の事を「文字」と称しています。
この図と説明では「単項式」と「多項式」で別のグループとして扱っています。
通常はこの図通りの考え方で問題無いのですが
「単項式とは１つの項と同じ」と見る事ができるのでこれを前提として、
「整式」グループ内の「多項式」グループ内の一部に
「１つの項(単項式)」が存在する
(「１つの項(単項式)」も「多項式」の一部として見る)
のような解釈をする流派も存在します。
その場合、「整式」と「多項式」は同じ意味「整式＝多項式」として扱われますので
注意が必要です。
「単項式(項)」とは…(係数、項の次数次式)
「整式」の中には必ず「項」が存在します。
これ以上「足す引く」の必要の無い状態で
・「実数」と「変数」で、
「実数＊変数」「変数＊変数」
のような「掛け算」を最大限繰り返したもの。
（例：｢２ｘ｣｢３ｙ｣｢２ｘｙ｣｢ｘ２｣｢３＊４｣｢３／４｣「ｘ／２」）
・「実数」や「変数」そのもの。
（例：｢３｣「3.14」｢ｘ｣「ａ」）
の事です。
「項」の例をいくつか並べます
「０.１２３」「ｘ」「ｘｙ」「２ｘ」
「−(3／1)ｘｙｚ」「−0.4ａｂ」
「分母が実数」の「分数」は「項」です
「ｘ／２」は「項」
「ａ／２＊ｂ／３」は「項」
「分母に変数」がある場合「項」ではない
「２／ａ」は「項」ではない(式は「整式」ではなく「分数式」となります)
「ルート√」内に「変数」がある場合「項」ではない
「√ｘ」は「項」ではない(式は「整式」ではなく「無理式」となります)
「単項式」とは
「１つの項」のみで出来た式を「単項式」と呼びます。
・「係数」「定数項」とは…
「変数」に「掛ける定数(数字や変数)」の事を「係数」といいます。
「０.１２３」→係数は「なし」(変数が無いので係数が存在しない)
「３ａ」→係数は「３」
「３ａｂ２」→「３」は｢ａｂ２」の係数、「３ａ」は「ｂ２」の係数
「−ｘ／２」→「(−１／２)＊ｘ」なので係数は「−１／２」
「−ｘ２ｙ２」→「ｘ２ｙ２」の係数は「−１」
「数値のみ(定数)の項」を「定数項」といいます。
・「項の次数、次式」とは…
「項」の中で「掛けた変数」の数を「項の次数」と言います。
その式が「単項式」であれば「項の次数」の数の「次式」となります。
「０.１２３」→この項は「０次数」(変数が無いので０次数)
「３ａ」→この項は「１次数」→この式は「１次式」
「−ｘ／２」→この項は「１次数」→この式は「１次式」
「３ａｂ２」(変数の数が「ａｂｂ」で３つ)
→この項は「３次数」→この式は「３次式」
「−ｘ２ｙ２」(変数の数が「ｘｘｙｙ」で４つ)
→この項は「４次数」→この式は「４次式」
「多項式」とは…(次式、元)
で出来た式の事を「多項式」と呼びます。
「多項式」の例：
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −10」
「０.１２３ ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」
・「次式」とは…
「多項式」では「各項」の次数内で「一番大きい次数」をその式の「次式」とします。
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −１０」(「６ｘ２ → 次数２」「４ｘ → 次数１」)
「各項」の中で「６ｘ２ → 次数２」が「一番大きい次数」の為
→この式は「２次式」です。
「０.１２３ ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」(「ｘｙ → 次数２」「−４ａｂｃ → 次数３」)
「各項」の中で「−４ａｂｃ → 次数３」が「一番大きい次数」の為
→この式は「３次式」です。
「１０ｘ ＋ ５ｙ」(「ｘ → 次数１」「ｙ → 次数１」)
「各項」の中で「次数１」が「一番大きい次数」の為
→この式は「１次式」です。
・「元」とは…
「整式(単項式、多項式)」の式内にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
「６ｘ２＋４ｘ−10」→「１元２次式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ」→「３元２次式」
「６ｘｙｚ＋２ｙ」→「３元３次式」
「６ｘ２ｙｚ＋２ｙ」→「３元４次式」
「６ｘ２ｙ３ｚ＋２ｙ」→「３元６次式」
「整式」とは…
実際は「整式＝{多項式，単項式}」です。
・「単項式」は「整式」です。（｢３ｘ｣）
・「多項式」も「整式」です。（｢４ｘ−5｣）
・「単項式＋多項式」も「整式」です。（｢６ｘ２ ＋ 4ｘ −10｣）
（「単項式＋多項式」は結局「多項式」なので「整式」です）
「整式」の例：
「０.１２３」「ｘ」「ｘｙ」「ｘ２」「−(３／１)ｘｙｚ」「−０.４ａｂ」
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −10」
「0.123 ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」
「分数式」とは…
「１／ｘ」
「(ｘ２＋１)／(ｘ＋１)」
「２／(ｘ２＋４ｘ＋１)」
「有理式」とは…
「無理式」とは…
「√(ｘ ＋ １)」の式は「無理式」です
（「ルート√」の中が「実数」のみの場合は「有理式」です）
ちなみに、
「ｙ = √ｘ」などの関数式の事は「無理関数」と呼びます。
C# 統計･微分積分･線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06
以下のサイトを参考にしました。
単項式，多項式，整式
https://mathtrain.jp/seishiki
多項式と整式の違いを教えて下さい
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10120910555
数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm
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「多項式単項式、整式、分数式、有理式無理式」
についてもメモ。
ここでは、
「×」を「＊」
「÷」や「分数」を「／」
で表現します。
「単項式 多項式 整式 分数式 有理式 無理式 係数 次数 元」
各「式」の区分図解
注意：
この図では「変数」の事を「文字」と称しています。
この図と説明では「単項式」と「多項式」で別のグループとして扱っています。
通常はこの図通りの考え方で問題無いのですが
「単項式とは１つの項と同じ」と見る事ができるのでこれを前提として、
「整式」グループ内の「多項式」グループ内の一部に
「１つの項(単項式)」が存在する
(「１つの項(単項式)」も「多項式」の一部として見る)
のような解釈をする流派も存在します。
その場合、「整式」と「多項式」は同じ意味「整式＝多項式」として扱われますので
注意が必要です。
「単項式(項)」とは…(係数、項の次数次式)
「整式」の中には必ず「項」が存在します。
「実数＊実数」「変数＊変数」「実数＊変数」
のように「○＊○」の「かけ算」を最大限に繰り返した
以下のような「一番大きなまとまり」
「２ｘ」「２ｘｙ」「ａｂｃｄ」「３ｘ２４ｙ」
を「項」と呼びます。
「○＊○」の「かけ算」を繰り返す形に見えない
「０.１２３」「ｘ」
のような「実数単体」や「変数単体」であってもこれらは、
「１＊０.１２３」「１＊ｘ」
と同じと見なし「項」と呼びます。
「割り算」や「分数」の式で、
「割る数が実数」つまり「分数の分母が実数」
「○÷実数」「○／実数」
の式であれば
「○＊(１／実数)」つまり「○＊実数」
のような「掛け算」の式で表す事ができますので「項」と呼べます。
例えば、
「(３／４)ｘ」は「０.７５＊ｘ」と見なし「項」です
「１／３」は「１＊０.３３３…」と見なし「項」です
「ｘ÷２」つまり「ｘ／２」は
「ｘ＊１／２」や「ｘ＊０.５」と見なし「項」です
但し、
「分母(割る数)」に「変数」がある式は「項」とは呼ばないで
「分数式(有理式)」と呼ぶ
事に注意して下さい。
「分数式」（「分母(割る数)」に「変数」がある式）は
「○＊実数」や「○＊変数」のような「掛け算」の形に式変形できないので
「項(単項式)」とも「整式」とも呼べません。
「分数式」の例
「１÷ｘ」や「１／ｘ」の式は「分数式」です
「(２／ａ)＋ｂ」の式は「分数式」です
「分数式」は「項」ではないので
「分数式」が入った式は「整式」とは呼べません
また、
「ルート√」の中に「変数」がある式は「項」とは呼ばないで
「無理式」と呼ぶ
事にも注意して下さい。
「無理式」（「ルート√」の中に「変数」がある式）は
「○＊実数」や「○＊変数」のような「掛け算」の形に式変形できないので
「項(単項式)」とも「整式」とも呼べません。
「無理式」の例
「√ｘ」の式は「無理式」です
「ｂ＋√ｘ」の式は「無理式」です
「整式」の式の中で「項」は
「項＋項＋項−項」
のように「足す引く」により「項」同士が区切られます。
「１つの項」のみで出来た「足す引く」が存在しない式が「単項式」
です。
「項」とはのように「○＊○」の「かけ算」を最大限に繰り返した
以下のような「一番大きなまとまり」
「２ｘ」「２ｘｙ」「ａｂｃｄ」「３ｘ２４ｙ」
を「項」と呼びます。
「○＊○」の「かけ算」を繰り返す形に見えない
「０.１２３」「ｘ」
のような「実数単体」や「変数単体」であってもこれらは、
「１＊０.１２３」「１＊ｘ」
と同じと見なし「項」と呼びます。
「割り算」や「分数」の式で、
「割る数が実数」つまり「分数の分母が実数」
「○÷実数」「○／実数」
の式であれば
「○＊(１／実数)」つまり「○＊実数」
のような「掛け算」の式で表す事ができますので「項」と呼べます。
例えば、
「(３／４)ｘ」は「０.７５＊ｘ」と見なし「項」です
「１／３」は「１＊０.３３３…」と見なし「項」です
「ｘ÷２」つまり「ｘ／２」は
「ｘ＊１／２」や「ｘ＊０.５」と見なし「項」です
但し、
「分母(割る数)」に「変数」がある式は「項」とは呼ばないで
「分数式(有理式)」と呼ぶ
事に注意して下さい。
「分数式」（「分母(割る数)」に「変数」がある式）は
「○＊実数」や「○＊変数」のような「掛け算」の形に式変形できないので
「項(単項式)」とも「整式」とも呼べません。
「分数式」の例
「１÷ｘ」や「１／ｘ」の式は「分数式」です
「(２／ａ)＋ｂ」の式は「分数式」です
「分数式」は「項」ではないので
「分数式」が入った式は「整式」とは呼べません
また、
「ルート√」の中に「変数」がある式は「項」とは呼ばないで
「無理式」と呼ぶ
事にも注意して下さい。
「無理式」（「ルート√」の中に「変数」がある式）は
「○＊実数」や「○＊変数」のような「掛け算」の形に式変形できないので
「項(単項式)」とも「整式」とも呼べません。
「無理式」の例
「√ｘ」の式は「無理式」です
「ｂ＋√ｘ」の式は「無理式」です
「整式」の式の中で「項」は
「項＋項＋項−項」
のように「足す引く」により「項」同士が区切られます。
「１つの項」のみで出来た「足す引く」が存在しない式が「単項式」
です。
これ以上「足す引く」の必要の無い状態で
・「実数」と「変数」で、
「実数＊変数」「変数＊変数」
のような「掛け算」を最大限繰り返したもの。
（例：｢２ｘ｣｢３ｙ｣｢２ｘｙ｣｢ｘ２｣｢３＊４｣｢３／４｣「ｘ／２」）
・「実数」や「変数」そのもの。
（例：｢３｣「3.14」｢ｘ｣「ａ」）
の事です。
「項」の例をいくつか並べます
「０.１２３」「ｘ」「ｘｙ」「２ｘ」
「−(3／1)ｘｙｚ」「−0.4ａｂ」
「分母が実数」の「分数」は「項」です
「ｘ／２」は「項」
「ａ／２＊ｂ／３」は「項」
「分母に変数」がある場合「項」ではない
「２／ａ」は「項」ではない(式は「整式」ではなく「分数式」となります)
「ルート√」内に「変数」がある場合「項」ではない
「√ｘ」は「項」ではない(式は「整式」ではなく「無理式」となります)
「単項式」とは
「１つの項」のみで出来た式を「単項式」と呼びます。
・「係数」「定数項」とは…
「変数」に「掛ける定数(数字や変数)」の事を「係数」といいます。
「０.１２３」→係数は「なし」(変数が無いので係数が存在しない)
「３ａ」→係数は「３」
「３ａｂ２」→「３」は｢ａｂ２」の係数、「３ａ」は「ｂ２」の係数
「−ｘ／２」→「(−１／２)＊ｘ」なので係数は「−１／２」
「−ｘ２ｙ２」→「ｘ２ｙ２」の係数は「−１」
「数値のみ(定数)の項」を「定数項」といいます。
・「項の次数、次式」とは…
「項」の中で「掛けた変数」の数を「項の次数」と言います。
その式が「単項式」であれば「項の次数」の数の「次式」となります。
「０.１２３」→この項は「０次数」(変数が無いので０次数)
「３ａ」→この項は「１次数」→この式は「１次式」
「−ｘ／２」→この項は「１次数」→この式は「１次式」
「３ａｂ２」(変数の数が「ａｂｂ」で３つ)
→この項は「３次数」→この式は「３次式」
「−ｘ２ｙ２」(変数の数が「ｘｘｙｙ」で４つ)
→この項は「４次数」→この式は「４次式」
「多項式」とは…(次式、元)
複数の「項」同士を足したり引いたりした式の事を
「多項式」と呼びます。
「項＋項＋項−項」のように「足す引く」で区切られた複数の「項」「多項式」と呼びます。
で出来た式の事を「多項式」と呼びます。
「多項式」の例：
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −10」
「０.１２３ ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」
・「次式」とは…
「多項式」では「各項」の次数内で「一番大きい次数」をその式の「次式」とします。
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −１０」(「６ｘ２ → 次数２」「４ｘ → 次数１」)
「各項」の中で「６ｘ２ → 次数２」が「一番大きい次数」の為
→この式は「２次式」です。
「０.１２３ ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」(「ｘｙ → 次数２」「−４ａｂｃ → 次数３」)
「各項」の中で「−４ａｂｃ → 次数３」が「一番大きい次数」の為
→この式は「３次式」です。
「１０ｘ ＋ ５ｙ」(「ｘ → 次数１」「ｙ → 次数１」)
「各項」の中で「次数１」が「一番大きい次数」の為
→この式は「１次式」です。
・「元」とは…
「整式(単項式、多項式)」の式内にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
「６ｘ２＋４ｘ−10」→「１元２次式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ」→「３元２次式」
「６ｘｙｚ＋２ｙ」→「３元３次式」
「６ｘ２ｙｚ＋２ｙ」→「３元４次式」
「６ｘ２ｙ３ｚ＋２ｙ」→「３元６次式」
「整式」とは…
「単項式」や「多項式」の事を大きなくくりで、
「整式」と呼びます。
（「整式」の式で「多項式」でない場合、その式は「単項式」です）
「整式＝多項式(単項式は多項式に含まれる)」のような扱いをする流派も存在しますが、「整式」と呼びます。
（「整式」の式で「多項式」でない場合、その式は「単項式」です）
実際は「整式＝{多項式，単項式}」です。
・「単項式」は「整式」です。（｢３ｘ｣）
・「多項式」も「整式」です。（｢４ｘ−5｣）
・「単項式＋多項式」も「整式」です。（｢６ｘ２ ＋ 4ｘ −10｣）
（「単項式＋多項式」は結局「多項式」なので「整式」です）
「整式」の例：
「０.１２３」「ｘ」「ｘｙ」「ｘ２」「−(３／１)ｘｙｚ」「−０.４ａｂ」
「６ｘ２ ＋ ４ｘ −10」
「0.123 ＋ ｘｙ − ４ａｂｃ」
「分数式」とは…
「分数」の式で「分母」に「変数」がある場合、
「分数式」と呼びます。
「分数式」の例：「分数式」と呼びます。
「１／ｘ」
「(ｘ２＋１)／(ｘ＋１)」
「２／(ｘ２＋４ｘ＋１)」
「有理式」とは…
「整式」や「分数式」の事をおおきなくくりで、
「有理式」と呼びます。
（「有理式」の式で「分数式」でない場合、その式は「整式」です）
「有理式」と呼びます。
（「有理式」の式で「分数式」でない場合、その式は「整式」です）
「無理式」とは…
「有理式」でない式は全て「無理式」と呼びます。
「無理式」とは「ルート√」の中に「文字(変数ｘや変数ｙなど)」が含まれた式の事です。「√(ｘ ＋ １)」の式は「無理式」です
（「ルート√」の中が「実数」のみの場合は「有理式」です）
ちなみに、
「ｙ = √ｘ」などの関数式の事は「無理関数」と呼びます。
C# 統計･微分積分･線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06
他
以下のサイトを参考にしました。
単項式，多項式，整式
https://mathtrain.jp/seishiki
多項式と整式の違いを教えて下さい
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10120910555
数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm
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