C# 統計･微分積分･線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06
「関数の基礎」メモっておく。
ここでは、
「×」を「＊」
「÷」や「分数」を「／」
で表現します。
「関数ｆ(ｘ)」とは（ｆ(ｘ)はｘの関数）
「ｆ(ｘ)」は「エフエックス」と読み「関数」を指します。
「ｆ」は「function」(関数)の略です。
「関係性のある(入力)数値と(出力)数値」の繋がり事を「関数」と呼びます。
「ｆ(ｘ)はｘの関数」のとき「関数ｆ(ｘ)」は
「入力」を「ｘ」、「出力」を「ｆ(ｘ)」と見立てた「関数」となります
「関数ｆ(ｘ)」へ入力する数値となる「変数ｘ」を「説明変数ｘ」と呼びます。
「関数ｙ」とは（ｙはｘの関数）
「入力値ｘの値」により、１つの「出力値ｙの値」が決まるとき
「ｙは、ｘの関数」
と言い、
「ｙ＝ｆ(ｘ)」(←入力ｘの値を「ｆ(ｘ)」が処理した結果を「ｙ」とする)
と記述します
「関数ｙ」として扱う「変数ｙ」を「目的変数ｙ」と呼びます。
「関数ｆ(ｘ)」と「関数ｙ」のグラフ
「ｆ(ｘ)＝ｘ＋２」
「ｙ＝ｘ＋２」
のような「関数の式」では必ず、
「ｘの数値」が決定すると「ｆ(ｘ)やｙ」が１つの数値に確定します。
（「ｘ」の数値の確定により「ｆ(ｘ)やｙ」の数値が１つの値に確定しない場合は
「関数」とは言えません）
この「関数」の「入力値と出力値の関係性」を「グラフ」にした物が
「関数グラフ」です。
「関数の式」を「関数グラフ」にする事によって、
「入力数値」がいくつのとき「出力数値」がいくつになるかの関係性が
見た目にとてもわかりやすくなります。
「関数、関数グラフ」の注意点（方程式のグラフ）
「関数の式」とは、
「ｘに何か値を入れると必ずｆ(ｘ)やｙの値が１つに決まる」
（「ｘ」に値が入ると「関数ｆ(ｘ)や関数ｙ」が１つの値に確定する）
ような関係性の式を指します。
なので、
「関数ｆ(ｘ)、関数ｙ」から出力される数値は必ず１つ
でなければいけません。
・関数式である「ｆ(ｘ)＝ｘ２」「ｙ＝ｘ２」
・関数式ではない「ｆ(ｘ)＝√ｘまたは−√ｘ」「ｙ＝√ｘまたは−√ｘ」
・「方程式のグラフ、円の方程式のグラフ」（陰関数）
１次式２次式３次式とは(次数と次式と元)
この後で「方程式」と「関数」についてを学ぶためには、
「ｎ次数」と「ｎ次式」についての理解が必要となりますので説明します。
「次式」の判断例を幾つか見てみましょう。
・「元」について…
「式」の中にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
「等式」と「不等式」と「恒等式」と「方程式」と「関数」の違い
「恒等式」と「方程式」と「関数」があやふやだと困るので、
ここでそれぞれの違いを軽くまとめておきます。
・「等式」とは
「＝」(イコール)で結ばれた式の事です。
・「不等式」とは
「≧や≦」「＞や＜」「≠」(不等号)などで結ばれた式の事です。
「変数(ｘやｙなど)」が指す「答えの範囲を解くため」に不等式を使います。
(「方程式は変数の指す値」「不等式は変数の指す範囲」を求める事が出来ます)
・「恒等式」とは（「等式」の一部）
「公式、定理、定義、法則」などと呼ばれる
「＝」で結ばれた「証明する為の等式」は全て「恒等式」です。
・「方程式」とは（一次方程式 二次方程式 三次方程式）
「答えを解く為に存在する問題となる等式」つまり、
「答えを解く為の等式」の事を「方程式」と呼びます。
「方程式」では式が「１次式、２次式、３次式」かによって、
「一次方程式、二次方程式、三次方程式」と呼び方が変わります。
「方程式」は変数「ｘやｙ」などの、分からない変数の解を求める為に使う式です。
・「関数」とは（１次関数２次関数３次関数）
「関数式」は「グラフ化」した物とセットでよく扱われます。
「ｘに何か値を入れると必ずｆ(ｘ)やｙの値が１つに決まる」
ような関係性の式を「関数式」と言います。
「関数」の中で行われている計算を式として表す時、
「＝の右側の式」は
「変数」に値が入った時に変換するルールとなる式
となります。
注意：
「関数」では「＝の右側の式」が「１次式、２次式、３次式」かによって、
「１次関数、２次関数、３次関数」と呼び方が変わります。
「関数」は「変数」に様々な数値を入れた時の「解の値の変化」を知る為に使う式です。
１次関数２次関数３次関数のグラフ
「１次関数」「２次関数」「３次関数」の式を「グラフ」にするとそれぞれ、
「１次関数グラフ」は「直線」
「２次関数グラフ」は「放物線」
「３次関数グラフ」は「曲線」
の「グラフ」になります。
「１次関数」直線グラフ、「２次関数」放物線グラフ
については「他の章」でさらに詳しく学ぶ予定です。
C# 統計･微分積分･線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw07
以下のサイトを参考にしました。
【２次関数】f (x)の意味
http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0205.html
関数f(x)[意味・使い方・読み方]
http://manapedia.jp/text/2501
恒等式と等式の違いは何ですか？
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1348651388
方程式と恒等式の違い
https://mathtrain.jp/equ_iden
【二次関数】
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00010
３次関数はどうなる？
http://mtf.z-abc.com/?eid=829022
グラフィカルに数式を表示できる
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x
数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06
「関数の基礎」メモっておく。
ここでは、
「×」を「＊」
「÷」や「分数」を「／」
で表現します。
「関数ｆ(ｘ)と関数ｙとｘ」
「関数ｆ(ｘ)」とは（ｆ(ｘ)はｘの関数）
「ｆ(ｘ)」は「エフエックス」と読み「関数」を指します。
「ｆ」は「function」(関数)の略です。
「関係性のある(入力)数値と(出力)数値」の繋がり事を「関数」と呼びます。
「ｆ(ｘ)はｘの関数」のとき「関数ｆ(ｘ)」は
「入力」を「ｘ」、「出力」を「ｆ(ｘ)」と見立てた「関数」となります
「関数ｆ(ｘ)」へ入力する数値となる「変数ｘ」を「説明変数ｘ」と呼びます。
「関数ｙ」とは（ｙはｘの関数）
「入力値ｘの値」により、１つの「出力値ｙの値」が決まるとき
「ｙは、ｘの関数」
と言い、
「ｙ＝ｆ(ｘ)」(←入力ｘの値を「ｆ(ｘ)」が処理した結果を「ｙ」とする)
と記述します
「関数ｙ」として扱う「変数ｙ」を「目的変数ｙ」と呼びます。
「関数ｆ(ｘ)」と「関数ｙ」のグラフ
「ｆ(ｘ)＝ｘ＋２」
「ｙ＝ｘ＋２」
のような「関数の式」では必ず、
「ｘの数値」が決定すると「ｆ(ｘ)やｙ」が１つの数値に確定します。
（「ｘ」の数値の確定により「ｆ(ｘ)やｙ」の数値が１つの値に確定しない場合は
「関数」とは言えません）
この「関数」の「入力値と出力値の関係性」を「グラフ」にした物が
「関数グラフ」です。
「関数の式」を「関数グラフ」にする事によって、
「入力数値」がいくつのとき「出力数値」がいくつになるかの関係性が
見た目にとてもわかりやすくなります。
「関数、関数グラフ」の注意点（方程式のグラフ）
「関数の式」とは、
「ｘに何か値を入れると必ずｆ(ｘ)やｙの値が１つに決まる」
（「ｘ」に値が入ると「関数ｆ(ｘ)や関数ｙ」が１つの値に確定する）
ような関係性の式を指します。
なので、
「関数ｆ(ｘ)、関数ｙ」から出力される数値は必ず１つ
でなければいけません。
・関数式である「ｆ(ｘ)＝ｘ２」「ｙ＝ｘ２」
・関数式ではない「ｆ(ｘ)＝√ｘまたは−√ｘ」「ｙ＝√ｘまたは−√ｘ」
・「方程式のグラフ、円の方程式のグラフ」（陰関数）
１次式２次式３次式とは(次数と次式と元)
この後で「方程式」と「関数」についてを学ぶためには、
「ｎ次数」と「ｎ次式」についての理解が必要となりますので説明します。
式の中で
「実数」の部分を「０次数」
「変数(ｘやｙなど)」が「単独」で使われた部分を「１次数」
「変数(ｘやｙなど)」同士をｎ回「掛けた」部分を「ｎ次数」
と表現して、
その式の中で使われる一番大きな次数の数をｎとすると、
その式は「ｎ次式」の式と言えます。
式の中で使われた最大の「次数」が
「０次数」なら「０次数」
「１次数」なら「１次式」
「２次数」なら「２次式」
「実数」の部分を「０次数」
「変数(ｘやｙなど)」が「単独」で使われた部分を「１次数」
「変数(ｘやｙなど)」同士をｎ回「掛けた」部分を「ｎ次数」
と表現して、
その式の中で使われる一番大きな次数の数をｎとすると、
その式は「ｎ次式」の式と言えます。
式の中で使われた最大の「次数」が
「０次数」なら「０次数」
「１次数」なら「１次式」
「２次数」なら「２次式」
「次式」の判断例を幾つか見てみましょう。
「1＋2＊3」→「０次式」
「1」は０次数、「2＊3」は０次数
この式の「最大次数は０」の為「０次式」です。
「ｘ＋1」→「１次式」
「ｘ」は１次数、「1」は０次数
この式の「最大次数は１」の為「１次式」です。
「ｘ２」→「２次式」
「ｘ２」は２次式
この式の「最大次数は２」の為「２次式」です。
「ｘ２−ａｂｃ＋４ｄ３ｅ＋２」→「３次式」
「ｘ２」は２次式、「ａｂｃ」は３次式、「４ｄ３ｅ」は２次式、「２」は０次式
この式の「最大次数は３」の為「３次式」です。
「1」は０次数、「2＊3」は０次数
この式の「最大次数は０」の為「０次式」です。
「ｘ＋1」→「１次式」
「ｘ」は１次数、「1」は０次数
この式の「最大次数は１」の為「１次式」です。
「ｘ２」→「２次式」
「ｘ２」は２次式
この式の「最大次数は２」の為「２次式」です。
「ｘ２−ａｂｃ＋４ｄ３ｅ＋２」→「３次式」
「ｘ２」は２次式、「ａｂｃ」は３次式、「４ｄ３ｅ」は２次式、「２」は０次式
この式の「最大次数は３」の為「３次式」です。
・「元」について…
「式」の中にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
「６ｘ２＋4ｘ−10」→「１元２次式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ」→「３元２次式」
「６ｘｙｚ＋２ｙ」→「３元３次式」
「６ｘ２ｙ３ｚ＋２ｙ」→「３元６次式」
後述の「方程式」の時は以下のような呼び方ができます。(この例の右辺数値は適当です)
「６ｘ２＋４ｘ−10＝０」→「１元２次方程式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ＝１」→「３元２次方程式」
「６ｘ３＋ｘｙｚ＝２」→「３元３次方程式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ」→「３元２次式」
「６ｘｙｚ＋２ｙ」→「３元３次式」
「６ｘ２ｙ３ｚ＋２ｙ」→「３元６次式」
後述の「方程式」の時は以下のような呼び方ができます。(この例の右辺数値は適当です)
「６ｘ２＋４ｘ−10＝０」→「１元２次方程式」
「６ｘ２＋４ｙ−10ｚ＝１」→「３元２次方程式」
「６ｘ３＋ｘｙｚ＝２」→「３元３次方程式」
「等式」と「不等式」と「恒等式」と「方程式」と「関数」の違い
「恒等式」と「方程式」と「関数」があやふやだと困るので、
ここでそれぞれの違いを軽くまとめておきます。
・「等式」とは
「＝」(イコール)で結ばれた式の事です。
「（式Ａ）＝（式Ｂ）」
「２＋３ ＝ ４＋１」や「ａ＋ｂ ＝ ｃ＋ｄ」など
「左の式」と「右の式」のバランスが等しい。
「＝」(イコール)の事を「等号」と言います。「２＋３ ＝ ４＋１」や「ａ＋ｂ ＝ ｃ＋ｄ」など
「左の式」と「右の式」のバランスが等しい。
・「不等式」とは
「≧や≦」「＞や＜」「≠」(不等号)などで結ばれた式の事です。
「（式A）＜（式Ｂ）」
「１＋２ ＜ ３＋４」や「ａ＋ｂ ＜ ｂ＋ｄ」など
「左の式」と「右の式」のバランスが等しくない（不等である）。
「≧≦＞＜≠」の記号の事を「不等号」と言います。「１＋２ ＜ ３＋４」や「ａ＋ｂ ＜ ｂ＋ｄ」など
「左の式」と「右の式」のバランスが等しくない（不等である）。
「変数(ｘやｙなど)」が指す「答えの範囲を解くため」に不等式を使います。
(「方程式は変数の指す値」「不等式は変数の指す範囲」を求める事が出来ます)
・「恒等式」とは（「等式」の一部）
「公式、定理、定義、法則」などと呼ばれる
「＝」で結ばれた「証明する為の等式」は全て「恒等式」です。
「（式Ａ）＝ （式Ｂ）」
「1 ＝ 1.0」や「x2 ＝ ｘ＊ｘ」や
「(ｘ ＋ ｙ)2 ＝ ｘ２ ＋ ２ｘｙ ＋ ｙ２」など
式で使われた「変数(ｘやｙなど)」にどんな値が入っても
「左の式」と「右の式」のバランスが等しくなり式が成立する。
(「証明する為の等式」であれば、変数が式になくても良い)
「恒等式」は「等式」の中の一部です。「1 ＝ 1.0」や「x2 ＝ ｘ＊ｘ」や
「(ｘ ＋ ｙ)2 ＝ ｘ２ ＋ ２ｘｙ ＋ ｙ２」など
式で使われた「変数(ｘやｙなど)」にどんな値が入っても
「左の式」と「右の式」のバランスが等しくなり式が成立する。
(「証明する為の等式」であれば、変数が式になくても良い)
・「方程式」とは（一次方程式 二次方程式 三次方程式）
「答えを解く為に存在する問題となる等式」つまり、
「答えを解く為の等式」の事を「方程式」と呼びます。
「（式Ａ）=（式Ｂ）」
「２ｘ＋１ = ７」や「ｘ２＋３ｘ−４ = ０」など
「変数(ｘやｙなど)」の「答えを解く為の等式」。
「方程式」は「等式」の中の一部です。「２ｘ＋１ = ７」や「ｘ２＋３ｘ−４ = ０」など
「変数(ｘやｙなど)」の「答えを解く為の等式」。
「方程式」では式が「１次式、２次式、３次式」かによって、
「一次方程式、二次方程式、三次方程式」と呼び方が変わります。
「方程式」は変数「ｘやｙ」などの、分からない変数の解を求める為に使う式です。
「一次方程式」の例（１次式）
「２ｘ−２ ＝ ０」は「ｘ ＝ １」が答え。
「２ｘ＋１ = ７」は「ｘ ＝ ３」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1215392483
「二次方程式」の例（２次式）
「ｘ２＋３ｘ−４ ＝ ０」は因数分解(因数分解は後ほど習います)すると
「(ｘ＋４)＊(ｘ−１) = ０」となり「ｘ=−４とｘ=１」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1161228770
「三次方程式」の例（３次式）
「ｘ３−２ｘ２−11ｘ＋12 = ０」は「ｘ＝−３とｘ＝１とｘ＝４」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554
「方程式」では「恒等式」を使用して答えを解きます。「２ｘ−２ ＝ ０」は「ｘ ＝ １」が答え。
「２ｘ＋１ = ７」は「ｘ ＝ ３」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1215392483
「二次方程式」の例（２次式）
「ｘ２＋３ｘ−４ ＝ ０」は因数分解(因数分解は後ほど習います)すると
「(ｘ＋４)＊(ｘ−１) = ０」となり「ｘ=−４とｘ=１」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1161228770
「三次方程式」の例（３次式）
「ｘ３−２ｘ２−11ｘ＋12 = ０」は「ｘ＝−３とｘ＝１とｘ＝４」が答え。
参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554
・「関数」とは（１次関数２次関数３次関数）
「関数式」は「グラフ化」した物とセットでよく扱われます。
「ｘに何か値を入れると必ずｆ(ｘ)やｙの値が１つに決まる」
ような関係性の式を「関数式」と言います。
「関数」の中で行われている計算を式として表す時、
「＝の右側の式」は
「変数」に値が入った時に変換するルールとなる式
となります。
「（関数）=（変換ルール式）」
これに従い「関数式」
「ｆ(ｘ) = ｘ＋２」
「ｙ ＝ ｘ＋２」
のように記述できます。
この際「関数」の出力は、
「関数ｆ(ｘ) =ｘ＋２」では「ｆ(１) ＝ ３」
「関数ｙ＝ｘ＋２」では「ｘ＝１のときｙ＝３」
のようになります。
「関数式」で使用する「＝」は「等式」とは違い「変換ルール式」を指定するものです。これに従い「関数式」
「ｆ(ｘ) = ｘ＋２」
「ｙ ＝ ｘ＋２」
のように記述できます。
この際「関数」の出力は、
「関数ｆ(ｘ) =ｘ＋２」では「ｆ(１) ＝ ３」
「関数ｙ＝ｘ＋２」では「ｘ＝１のときｙ＝３」
のようになります。
注意：
「関数」同士の「等式」や「方程式」の事を
「関数等式」や「関数方程式」と言います。
「ｆ(ｘ＋ｙ) ＝ ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)」
のように記述します。
ここでの「＝」は「等式」を意味します。
「関数式」で使用する「＝」は「変換ルール式」を指定します。
違いに注意して下さい。
「関数等式」や「関数方程式」と言います。
「ｆ(ｘ＋ｙ) ＝ ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)」
のように記述します。
ここでの「＝」は「等式」を意味します。
「関数式」で使用する「＝」は「変換ルール式」を指定します。
違いに注意して下さい。
「関数」では「＝の右側の式」が「１次式、２次式、３次式」かによって、
「１次関数、２次関数、３次関数」と呼び方が変わります。
「関数」は「変数」に様々な数値を入れた時の「解の値の変化」を知る為に使う式です。
「１次関数」の例（１次式）
「ｆ(ｘ)=２ｘ−２」
「ｙ=２ｘ−２」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D+2x-2
「２次関数」の例（２次式）
「ｆ(ｘ)=ｘ２＋３ｘ−４」
「ｙ=ｘ２＋３x−４」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E2%2B3x-4
「３次関数」の例（３次式）
「ｆ(ｘ)＝ｘ３−２ｘ２−１１ｘ＋１２」
「ｙ＝ｘ３−２ｘ２−１１ｘ＋１２」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E3%E2%88%922x%5E2%E2%88%9211x%EF%BC%8B12
「ｆ(ｘ)=２ｘ−２」
「ｙ=２ｘ−２」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D+2x-2
「２次関数」の例（２次式）
「ｆ(ｘ)=ｘ２＋３ｘ−４」
「ｙ=ｘ２＋３x−４」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E2%2B3x-4
「３次関数」の例（３次式）
「ｆ(ｘ)＝ｘ３−２ｘ２−１１ｘ＋１２」
「ｙ＝ｘ３−２ｘ２−１１ｘ＋１２」
参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E3%E2%88%922x%5E2%E2%88%9211x%EF%BC%8B12
１次関数２次関数３次関数のグラフ
「１次関数」「２次関数」「３次関数」の式を「グラフ」にするとそれぞれ、
「１次関数グラフ」は「直線」
「２次関数グラフ」は「放物線」
「３次関数グラフ」は「曲線」
の「グラフ」になります。
「１次関数」直線グラフ、「２次関数」放物線グラフ
については「他の章」でさらに詳しく学ぶ予定です。
C# 統計･微分積分･線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw07
他
以下のサイトを参考にしました。
【２次関数】f (x)の意味
http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0205.html
関数f(x)[意味・使い方・読み方]
http://manapedia.jp/text/2501
恒等式と等式の違いは何ですか？
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1348651388
方程式と恒等式の違い
https://mathtrain.jp/equ_iden
【二次関数】
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00010
３次関数はどうなる？
http://mtf.z-abc.com/?eid=829022
グラフィカルに数式を表示できる
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x
数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm
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