2018年5月21日月曜日

C# 数学5 「単項式 多項式 整式 分数式 有理式 無理式 係数 項の次数次式元」

C# 統計・微分積分・線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw05

「多項式単項式、整式、分数式、有理式無理式」
についてもメモ。

ここでは、
「×」を「*」
「÷」や「分数」を「/」
で表現します。



「単項式 多項式 整式 分数式 有理式 無理式 係数 次数 元」


各「式」の区分図解
  
注意:
この図と説明では「単項式」と「多項式」で別のグループとして扱っています。
解釈によっては
「単項式=1つの項」として「1つの項(単項式)」を
「多項式」のグループ内に含まれる一部として扱う事があります。
その場合は「多項式」と「整式」は同じ意味「多項式=整式」となりますので
注意して下さい。
図では「変数」の事を「文字」と称しています。


「単項式(項)」とは…(係数、項の次数次式)
  「実数と実数」、「変数と変数」、「実数と変数」などの
  「掛け算」を最大限に繰り返した
  「一番大きなまとまり」を「項」と呼びます。
  (「2x」「2xy」「abcd」「3x4y」など)

  「掛け算」を最大限繰り返した結果が
  「0.123」や「x」などの「実数」や「変数」単体になってしまう場合でも
  「1*0.123」「1*x」と同じなので「項」と呼びます。

  「割り算」や「分数」でも
  「割る数が実数」や「分数の分母が実数」であれば
  「掛け算」で表す事ができるので「項」です。
    「(3/4)x」は「0.75*x」と同じなので「項」です
    「1/3」は「0.333…*1」と同じなので「項」です
    「x÷2」や「x/2」は
      「x*1/2」となり「x*0.5」と同じなので「項」です
  但し注意として、
  「割る数や分母」に「変数」がある場合は「項」に含まれません。
  これらは「掛け算」に変形して表す事ができないので「項」とは呼べません。
  ちなみに「割る数や分母」に「変数」がある式の事は「分数式、有理式」
  と呼びます。
    「1÷x」や「1/x」の式を「分数式、有理式」と呼びます
    「(2/a)+b」の式を「分数式、有理式」と呼びます

  式の中で「項」は「項+項+項−項」のように、
  「足す引く」で区切られる形となります。
  「1つの項」のみで出来た「足す引く」が存在しない式を「単項式」と呼びます。
  (解釈によっては「多項式」の中の「1つの項」を「1つの式」として見て
  「多項式内の1つの項=単項式」と言う事があります。
  その場合「単項式」は「多項式」に含まれるといえます。)
「項」とは
  これ以上「足す引く」の必要の無い状態で
  ・「実数同士」「変数同士」、「実数と変数」など、
   「実数」や「変数」で「掛け算」を最大限繰り返したもの。
    (「2x」「3y」「2xy」「x」「3*4」「3/4」「x/2)
  ・これ以上「掛け算」の繰り返しがない
   「実数」や「変数」そのもの。
   (「3」「3.14」「x」「a」)
の事です。
「分母が実数」の「分数」も「項」に含める事が出来ますが、
  「x/2」は「項」に含まれる
  「a/2*b/3」は「項」に含まれる
「分母に変数」がある場合「項」に含める事が出来ません。
  「2/a」は「項」ではない
  「2/a」が式ならば「分数式、有理式」と言える。
「項」の例をいくつか並べます:
  「0.123」「x」「xy」「x」「−(3/1)xyz」「−0.4ab」など
「単項式」とは
  「1つの項」のみで出来た式を「単項式」と呼びます。

「係数」「定数項」とは…
「変数」に「掛ける定数(数字や変数)」の事を「係数」といいます。
  「0.123」→係数は「なし」(変数が無いので係数が存在しない)
  「3a」→係数は「3」
  「3ab」→「3」は「ab」の係数、「3a」は「b」の係数
  「−x/2」→「(−1/2)*x」なので係数は「−1/2」
  「−x」→「x」の係数は「−1」
「数値のみ(定数)の項」を「定数項」といいます。
  

「項の次数、次式」とは…
「項」の中で「掛けた変数」の数を「項の次数」と言います。
その式が「単項式」であれば「項の次数」の数の「次式」となります。
  「0.123」→この項は「0次数」(変数が無いので0次数)
  「3a」→この項は「1次数」→この式は「1次式」
  「−x/2」→この項は「1次数」→この式は「1次式」
  「3ab」(変数の数が「abb」で3つ)
     →この項は「3次数」→この式は「3次式」
  「−x」(変数の数が「xxyy」で4つ)
     →この項は「4次数」→この式は「4次式」


「多項式」とは…(次式、元)
  複数の「項」同士を足したり引いたりした式の事を
  「多項式」と呼びます。
「項+項+項−項」のように「足す引く」で区切られた複数の「項」
で出来た式の事を「多項式」と呼びます。
(解釈によっては「単項式内の1つの項」の事を「単項式」と呼ぶ事があります)
「多項式」の例:
  「6x + 4x −10」
  「0.123 + xy − 4abc」
など  

「次式」とは…
「多項式」では「各項」の次数で「一番大きい次数」がその式の「次式」となります。
  「6x + 4x −10」(「6x → 次数2」「4x → 次数1」)
    「各項」の中で「6x → 次数2」が「一番大きい次数」の為
    →この式は「2次式」です。
  「0.123 + xy − 4abc」(「xy → 次数2」「−4abc → 次数3」)
    「各項」の中で「−4abc → 次数3」が「一番大きい次数」の為
    →この式は「3次式」です。
  「10x + 5y」(「x → 次数1」「y → 次数1」)
    「各項」の中で「次数1」が「一番大きい次数」の為
    →この式は「1次式」です。

「元」とは…
「単項式、多項式」で「式」の中にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
  「6x+4x−10」→「1元2次式」
  「6x+4y−10z」→「3元2次式」
  「6xyz+2y」→「3元3次式」
  「6xyz+2y」→「3元4次式」
  「6xz+2y」→「3元6次式」


「整式」とは…
  「単項式」や「多項式」の事を大きなくくりで、
  「整式」と呼びます。
  (「整式」の式で「多項式」でない場合、その式は「単項式」)
「整式=多項式(単項式は多項式に含まれる)」のような扱われ方をする事もありますが、
実際は「整式={多項式、単項式}」です。
  ・「単項式」は「整式」です。(「3x」)
  ・「多項式」も「整式」です。(「4x−5」)
  ・「単項式+多項式」も「整式」です。(「6x + 4x −10」)
   (「単項式+多項式」は結局「多項式」なので「正式」となります)
「整式」の例:
  「0.123」「x」「xy」「x」「−(3/1)xyz」「−0.4ab」
  「6x + 4x −10」
  「0.123 + xy − 4abc」
など


「分数式」とは…
  「分数」の式で「分母」に「変数」がある場合、
  「分数式」と呼びます。
「分数式」の例:
  「1/x」
  「(x+1)/(x+1)」
  「2/(x+4x+1)」


「有理式」とは…
  「整式」や「分数式」の事をおおきなくくりで、
  「有理式」と呼びます。
  (「有理式」の式で「分数式」でない場合、その式は「整式」となります。)


「無理式」とは…
  「有理式」でない式は全て「無理式」と呼びます。
「無理式」とは「√」の中に「文字(xやyなど)」が含まれた式の事です。
  「√(x + 1)」
などは「無理式」となります。
(「√」の中が「実数」のみの場合は「有理式」です。)

ちなみに、
「y = √x」などの関数式の事は「無理関数」と呼びます。




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以下のサイトを参考にしました。

単項式,多項式,整式
https://mathtrain.jp/seishiki

多項式と整式の違いを教えて下さい
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10120910555

数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm




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