2017年11月16日木曜日

C# 数学6 「関数f(x)、集合の写像fと関数f(x)」(xy 等式 不等式 恒等式 方程式 関数 次数次式)

C# 統計・微分積分・線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06

「関数の基礎」と「集合の写像fや関数」
メモっておく。

ここでは、
「×」を「*」
「÷」や「分数」を「/」
で表現します。



「関数f(x)」と「x、y」


関数「f(x)」とは…
「f(x)」は「エフエックス」と読み「関数」を指します。
「f」は「function」(関数)の略です。
「x」の値を受け取った関数「f(x)」は、
「x」の値を材料にして処理を行った結果を返します。
関数「f(x)」は「y」でも表現できます。(グラフ化の時「縦軸y」を指す為)

「f(x) = x」(f(x)はxの関数)
  つまり…
  『「x」の値が変化すると「f(x)」の値が変化する』関係の場合、
  「f(x)はxの関数」となります。
  「(=の右側の)x」の値が決定すると「f(x)」も1つの値に確定する必要があります。
  (「f(x)」の値は必ず1つの値でなければ関数にならない。)
「y = x」(yはxの関数)
  つまり…
  『「x」の値が変化すると「y」の値が変化する』関係の場合、
  「yはxの関数」となります。
  「(=の右側の)x」の値が決定すると「y」が1つの値に確定する必要があります。
  (「y」の値は必ず1つの値でなければ関数にならない。)
要は、
「関数f(x)」と「関数y」は同じと考えて良いという事です。
「関数」としての役割としては
プログラムで使用する「関数」と意味合いが似ていますね。


関数「f(x)とy」
  「f(x) = x+2」
のような「関数の式」を前提とした場合、
「fの引数x」に「1」を代入するとイコール右側の「答え」が「3」となります。
  →「f(1) = 1+2 = 3」
「2」を代入すると「4」となります。
  →「f(2)= 2+2 = 4」
「f(x) = x+2」の「関数の式」をグラフにすると以下のようになります。
  
  「f(x)」を「出力y」として「横軸x、縦軸y」でグラフ化すると、
  「入力x」に何か値を代入した時、
  必ず1つの「出力y」の値が決まる「関数のグラフ」となります。
この「関数式」は
  「f(x) = x+2」(「f(x)」は「x」の関数です)
  「y = x+2」(「y」は「x」の関数です)
のように2通りの書き方が出来、両方とも同じ意味の式です。
この「関数式」の「入力x」に「1」を代入した場合…
  「f(1) = 3」です。
  「x = 1」の時、「f(x) = 3」です。
  「x = 1」の時、「y = 3」です。
のような様々な書き方が出来ます。(これらは全て同じ意味)


関数の注意
「関数の式」は、
  「xに何か値を入れると必ずyの値が1つに決まる
  (「x」に値が入ると「関数f(x)」や「関数y」が1つの値に確定する)
式です。
なので、
  「関数f(x)」や「関数y」の答えは必ず1つ
  (但し「入力x」側は2つ以上の解釈があっても構わない)
でなければいけません。
例えば、
  「y2 = x」は「関数の式」でない
  「y = x2 」は「関数の式」です
という事が言えます。例を出します。

例1:↓「y2  = x」は関数でない
  
  「f(x2) = x」と式を変形した「f(x) = ±√x」は「関数の式」ではありません。
  「y2  = x」と式を変形した「y = ±√x」は「関数の式」ではありません。
この式は引数の「x = 4」として計算すると、
  「y = ±√4」
となります
「y」の答えに「+2」と「−2」の2つの可能性が出てしまう為、
「関数の式」とは言えません。
「関数f(x)」や「関数y」の答えは必ず1つで無ければいけません。

例2:↓「y = x2」は関数である
  
  「f(x) = x2」は「関数の式」です。
  「y = x2」は「関数の式」です。
この式は引数の「x」を「x = +2」や「x = −2」とした場合、
  「y = 22」や「y = −22
となり、
これらを計算すると「y」は必ず1つの答えである
  「y = 4」
となります。
故に「関数の式」という事が出来ます。


1次式2次式3次式とは(次数と次式)
この後で「方程式」と「関数」についてを学ぶためには、
「n次数」と「n次式」についての理解が必要となりますので説明します。
式の中で
  「実数」の部分を「0次数」
  「変数(xやyなど)」が「単独」で使われた部分を「1次数」
  「変数(xやyなど)」同士をn回「掛けた」部分を「n次数」
と表現して、
  その式の中で使われる一番大きな次数の数をnとすると、
  その式は「n次式」の式と言えます。
式の中で使われた最大の「次数」が
  「0次数」なら「0次数」
  「1次数」なら「1次式」
  「2次数」なら「2次式」

「次式」の判断例を幾つか見てみましょう。
・「1+2*3」は「0次式」となります。
  →「1」は0次数、「2*3」は0次数
   この式の「最大次数は0」の為「0次式」です。
・「x+1」は「1次式」となります。
  →「x」は1次数、「1」は0次数
   この式の「最大次数は1」の為「1次式」です。
・「x2」は「2次式」となります。
  →「x2」は2次式
   この式の「最大次数は2」の為「2次式」です。
・「x2−abc+4d3e+2」は「3次式」となります。
  →「x2」は2次式、「abc」は3次式、「4d3e」は2次式、「2」は0次式
   この式の「最大次数は3」の為「3次式」です。


「等式」と「不等式」と「恒等式」と「方程式」と「関数」の違い
「恒等式」と「方程式」と「関数」があやふやだと困るので、
ここでそれぞれの違いを軽くまとめておきます。
「等式」とは
「=」(イコール)で結ばれた式の事です。
  「(式A)=(式B)」
  「2+3 = 4+1」や「a+b = c+d」など
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しい。
「=」(イコール)の事を「等号」と言います。

「不等式」とは
「<や>」「≧や≦」「≠」(不等号)などで結ばれた式の事です。
  「(式A)<(式B)」
  「1+2 < 3+4」や「a+b < b+d」など
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しくない(不等である)。
「≠」の事を「不等号」と言います。

「恒等式」とは(「等式」の一部)
「公式、定理、定義、法則」などと呼ばれる
「=」で結ばれた「証明する為の等式」は全て「恒等式」です。
  「(式A)= (式B)」
  「1 = 1.0」や「x2 = x*x」や
  「(x + y)2 = x2 + 2xy + y2」など
  式で使われた「変数(xやyなど)」にどんな値が入っても
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しくなり式が成立する。
  (「証明する為の等式」であれば、変数が式になくても良い)
「恒等式」は「等式」の中の一部です。

「方程式」とは(一次方程式 二次方程式 三次方程式)
「答えを解く為に存在する問題となる等式」つまり、
「答えを解く為の等式」の事を「方程式」と呼びます。
  「(式A)=(式B)」
  「2x+1 = 7」や「x2+3x−4 = 0」など
  「変数(xやyなど)」の「答えを解く為の等式」。
「方程式」は「等式」の中の一部です。

「方程式」では式が「1次式、2次式、3次式」かによって、
「一次方程式、二次方程式、三次方程式」と呼び方が変わります。
「方程式」は変数「xやy」などの、分からない変数の解を求める為に使う式です。
  「一次方程式」の例(1次式)
    「2x−2 = 0」は「x = 1」が答え。
    「2x+1 = 7」は「x = 3」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1215392483
  「二次方程式」の例(2次式)
    「x2+3x−4 = 0」は因数分解(因数分解は後ほど習います)すると
    「(x+4)*(x−1) = 0」となり「x = −4とx = 1」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1161228770
  「三次方程式」の例(3次式)
    「x3−2x2−11x+12 = 0」は「x = -3とx = 1とx = 4」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554
「方程式」では「恒等式」を使用して答えを解きます。

「関数」とは(1次関数2次関数3次関数)
「関数式」は「グラフ化」した物とセットでよく扱われます。
  「xに何か値を入れると必ずyの値が1つに決まる」式
です。
「=の右側の式」は
  「変数」に値が入った時に変換するルールとなる式
となります。
  「(関数)=(変換ルール式)」
  「関数式」は以下の形の式となります。
    「f(x) = x+2」もしくは「y = x+2」
  です。
  更に「関数」を計算した場合、
    「f(x) = x+2」では「f(1) = 3」です。
    「y = x+2」では「x=が1のときy=3」です。
  と記述する事が可能です。
「関数式」で使用する「=」は「等式」とは違い「変換ルール式」を指定するものです。

注意:
  「関数」同士の「等式」や「方程式」の事を
  「関数等式」や「関数方程式」と言います。
    「f(x+y) = f(x)+f(y)」
  のように記述します。
  ここでの「=」は「等式」を意味します。
  「関数式」で使用する「=」は「変換ルール式」を指定します。
  違いに注意して下さい。

「関数」では「=の右側の式」が「1次式、2次式、3次式」かによって、
「1次関数、2次関数、3次関数」と呼び方が変わります。
「関数」は「変数」に様々な数値を入れた時の「解の値の変化」を知る為に使う式です。
  「1次関数」の例(1次式)
    「f(x) = 2x−2」もしくは「y = 2x−2」(2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D+2x-2
  「2次関数」の例(2次式)
    「f(x) = x2+3x−4」もしくは「y = x2+3x−4」(2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E2%2B3x-4
  「3次関数」の例(3次式)
    「f(x) = x3−2x2−11x+12」もしくは「y = x3−2x2−11x+12」(2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E3%E2%88%922x%5E2%E2%88%9211x%EF%BC%8B12

1次関数2次関数3次関数のグラフ
「関数」はグラフにした際、
  「1次関数」は「直線」
  「2次関数」は「放物線」
  「3次関数」は「?線(下記グラフ参照)」
となります。
  
  「1次関数」直線グラフ、「2次関数」放物線グラフ
  については「C# 数学8」で詳しく学ぶ予定です。


集合の「写像f」と「関数f(x)」


「写像f」とは…
「写像f」は「シャゾウエフ」と読み、
「集合同士の繋がり」を表す時に使用します。
(「集合」は「数字(要素 )」の集まり)

例えば
  f(「集合Aの1要素x」) = 「xに関係する集合Bの1要素」
  つまり
  「写像f」へ「集合Aの要素」を突っ込むと
  「関係」する「集合Bの要素」が得られる
とした場合、
この「関係性(変換パターン)」を示している物が「写像f」です。

式となる
  f(x) =「 Aの各要素x」に関係する「Bの各要素」
は省略して
  f:A→B
と書く事ができます。
  「写像f」へ渡す「集合Aの各要素」配列を
  →「定義域(定義値)」
  答えとして返す「集合Bの各要素」配列を
  →「値域(ちいき)」
とそれぞれ呼びます。
分かりにくいので「使用例」を見てみましょう。


使用例:
  商品である「定義域 集合A」配列
  商品の価格に対応させる「写像f」
  価格の「値域、集合B」配列
  が存在し、
  「定義域 集合A = {アメ, ガム, ポテト, アイス, かき氷}」
  「値域 集合B = {10, 100, 150, 200, 250}」
とした場合、以下のイメージとなります。
(「写像f」の「変換パターン」は適当に想定しました。)
  
この場合、
  写像f(x) = 「Aの要素x」に関係する「Bの要素」を返す
  なので、
  「f( ポテト ) = 150」
のような使い方となる。
  「150」は「写像f」による「ポテト」の像(値)である。
と言いう事が出来ます。


「写像」の条件
「写像」の条件は、
全ての「定義域(定義値)の1要素」が必ず「値域の1要素」を指す事です。
「写像」の条件…
  「定義域(定義値)の要素」は余ってはいけない。
  「値域の要素」は余っても良い。
  「定義域(定義値)の1要素」は「値域の複数要素」を指してはいけない。
  「値域の1要素」は「定義域(定義値)の複数要素」から指されても良い。
以下のようなイメージとなります。
  


「部分写像」「始域と終域」「定義域と値域」「全単射」
「写像」で使われる「定義域」と「値域」は、
「始域」や「終域」と
以下のような「包含関係」の意味を持ちます。
  「始域(全体集合)」内の「全てか特定の範囲(部分集合)」を「定義域」
  「終域(全体集合)」内の「全てか特定の範囲(部分集合)」を「値域」
とする事が出来ます。
この、
「始域(全体集合)」と「終域(全体集合)」から(サンプルとして)切り取った
「定義域と値域が関係する写像の範囲」を
  「部分写像」
と呼びます。
以下のようなイメージとなります。
  
  図の「始域Aや終域B」の領域は状況により
  「定義域Aや値域B」と言い換える事が可能です。
  図の「定義域Xから値域Y」の点線部分の事を
  「部分写像f:X→Y」と言います。

他に、
「始域」と「終域」の関係性として「全単射」があります。
「全単射」とは、
「始域」と「終域」両方の各要素が必ず1対1で、
要素の余りなく繋がっている状態の事を指します。
以下のようなイメージとなります。
  


「写像f」は関数「f(x)」と同じ…
「写像(mapping)」と「関数(function)」は厳密には違う物なのですが、
ここでは、とりあえず同じ物と考えて良いと思います。
(「多価関数」や「定義値がどの値域も指さない関数」など、
「写像」と言えない「関数」も存在する部分が厳密には違います)

「写像f」は関数「f(x)」的な書き方ができるので便利です。
「写像f」が優れている部分は、
  「定義域(定義値)」や「集合」の条件式記述を使えば、
  「定義値」に対して「範囲指定」(部分写像)が可能
となる所です。
具体的な例として
「計算例1」、「計算例2」、「計算例補足」
を以下に示しますので確認してみて下さい。


計算例1:
「写像f」だけでなく、実は「関数」でも「範囲指定」を書く事ができます。
定義域を「0≦x≦4」とした場合
  「y =  f(x+2)(0≦x≦4)」や
  「y = x+2 (0≦x≦4)」や
  「y = f(x) = x+2、定義域(0≦x≦4)」
のような書き方が出来ます。
これらの「関数式」と同じ物を、
「写像f」と「集合」で「範囲指定」を使い書いてみると
  「写像f:X→Y」の関係とした場合、
  「集合X={x+2 : 0≦x≦4, x∈R}」(ここの「」は「xは実数です」という意味)
  「集合Y={y : y∈R}」(ここの「R」は「yは実数です」という意味)
  とする。
のような書き方ができます。
  「y = x+2 (0≦x≦4)」や
  「写像f:X→Y、集合X={x+2:(0≦x≦4),x∈}、集合Y={y:y∈}」
をグラフにすると以下ようなイメージとなります。
  
グラフの青い四角線で囲った範囲が「部分集合」(「定義域と値域」)となります。
  「定義域x」を「入力値」
  「値域y」を「出力値」
としています。
結果、
  「値域y」は「2≦y≦6」
となります。


計算例2:
  「y = (√x)+2」の「定義域x」と「値域y」を求めると
  結果は以下のようになります。
  
まず「定義域x」を求めます。
「実数」の範囲で「√x」のような時、
「√の中の値がマイナス」になる事はあり得ませんので
  「定義域x」は「0≦x≦∞」
となります。

「 (√x)+2」は「2〜∞」の範囲となるので、
  「値域y」は「2≦x≦∞」
となります。


計算例補足:(この手の計算時の決まり事3つの心得)
「写像f」で式を表現する時、
1)「y=x」(の関数式)では、「xに実数を入力」して「y」の変化を求める式です。
  その為「写像f」で同じ式を表現をする場合、
  「定義域x」(入力側)は必ず「実数」となります。

2)「y= (√x)」(の関数式)では、「√の中がマイナス」になる事があり得ません。
  (√の式を変形して二乗の形にした場合、二乗の結果は必ずプラスとなる為)
  その為「写像f」で同じ式を表現をする場合、
  「定義域x」(入力側)の「(√x)」は必ず「0〜∞」の範囲となります。

3)「y= (1/x)」(の関数式)では、「分母のxが0」になる事はあり得ません。
  (「(1/x)」を「1 ÷x」とした時、0で割るのが禁止されている為)
  その為「写像f」で同じ式を表現をする場合、
  「定義値x」(入力側)の「(1/x)」は必ず「0を除いた実数」の範囲となります。
以上の3つの事を認識しておいて下さい。


「逆写像f-1」(fインバース)について
「逆写像f-1」は「写像f」の「全単射」の状態で成り立ちます。
「全単射」は「1対1」で要素が余りなく繋がった状態です。
「全単射」は以下のようなイメージとなります。
  
「全単射」では、
矢印の向きを逆にしても破綻しない事が保証されます。
実際に「全単射」の矢印の向きを逆にした物が
  「逆写像f-1
です。
「逆写像f-1」は以下のようなイメージとなります。
  

「写像f」はでは下のように記述します。
  「f : X→Y」
  「y = f(x)」←関数式で記述した場合

「逆写像f-1」では以下のような記述となります。
  「f-1:Y→X」
  「x = f-1(y)」←関数式で記述した場合

ここで学んだ
  『集合の「写像f」と「関数f(x)」』
の知識は「C# 数学9」で学ぶ予定の
  「関数」の定義域
で使用する知識となります。




C# 統計・微分積分・線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw07





以下のサイトを参考にしました。

【2次関数】f (x)の意味
http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0205.html

関数f(x)[意味・使い方・読み方]
http://manapedia.jp/text/2501

恒等式と等式の違いは何ですか?
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1348651388

方程式と恒等式の違い
https://mathtrain.jp/equ_iden

【二次関数】
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00010

3次関数はどうなる?
http://mtf.z-abc.com/?eid=829022

写像とは 線形代数のおはなし
http://senkei.nomaki.jp/mapping.html

定義域と値域
http://manapedia.jp/text/2503

写像・関数
http://f-server.ics.kagoshima-u.ac.jp/~fuchida/info-math/im-sec03.pdf

写像の始域/終域,定義域/値域,そして逆写像の存在
http://researchmap.jp/jo8vbw7ey-1782994/?lang=japanese

数学の質問です。 関数の定義域とはなんですか…
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14110358529

グラフィカルに数式を表示できる
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x

数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm

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