2017年11月16日木曜日

C# 数学6 「関数f(x)」(xy 等式 不等式 恒等式 方程式 関数 次数次式 元)

C# 統計・微分積分・線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06

「関数の基礎」メモっておく。

ここでは、
「×」を「*」
「÷」や「分数」を「/」
で表現します。



「関数f(x)」と「x、y」


関数「f(x)」とは…
「f(x)」は「エフエックス」と読み「関数」を指します。
「f」は「function」(関数)の略です。
「x」の値を受け取った関数「f(x)」は、
「x」の値を材料にして処理を行った結果を返します。
関数「f(x)」は「y」でも表現できます。(グラフ化の時「縦軸y」を指す為)

「f(x) = x」(f(x)はxの関数)
  つまり…
  『「x」の値が変化すると「f(x)」の値が変化する』関係の場合、
  「f(x)はxの関数」となります。
  「(=の右側の)x」の値が決定すると「f(x)」も1つの値に確定する必要があります。
  (「f(x)」の値は必ず1つの値でなければ関数にならない。)
「y = x」(yはxの関数)
  つまり…
  『「x」の値が変化すると「y」の値が変化する』関係の場合、
  「yはxの関数」となります。
  「(=の右側の)x」の値が決定すると「y」が1つの値に確定する必要があります。
  (「y」の値は必ず1つの値でなければ関数にならない。)
要は、
「関数f(x)」と「関数y」は同じと考えて良いという事です。
「関数」としての役割としては
プログラムで使用する「関数」と意味合いが似ていますね。


関数「f(x)とy」
  「f(x) = x+2」
のような「関数の式」を前提とした場合、
「fの引数x」に「1」を代入するとイコール右側の「答え」が「3」となります。
  →「f(1) = 1+2 = 3」
「2」を代入すると「4」となります。
  →「f(2)= 2+2 = 4」
「f(x) = x+2」の「関数の式」をグラフにすると以下のようになります。
  
  「f(x)」を「出力y」として「横軸x、縦軸y」でグラフ化すると、
  「入力x」に何か値を代入した時、
  必ず1つの「出力y」の値が決まる「関数のグラフ」となります。
この「関数式」は
  「f(x) = x+2」(「f(x)」は「x」の関数です)
  「y = x+2」(「y」は「x」の関数です)
のように2通りの書き方が出来、両方とも同じ意味の式です。
この「関数式」の「入力x」に「1」を代入した場合…
  「f(1) = 3」です。
  「x = 1」の時、「f(x) = 3」です。
  「x = 1」の時、「y = 3」です。
のような様々な書き方が出来ます。(これらは全て同じ意味)


関数の注意
「関数の式」は、
  「xに何か値を入れると必ずyの値が1つに決まる
  (「x」に値が入ると「関数f(x)」や「関数y」が1つの値に確定する)
式です。
なので、
  「関数f(x)」や「関数y」の答えは必ず1つ
  (但し「入力x」側は2つ以上の解釈があっても構わない)
でなければいけません。
例えば、
  「y2 = x」は「関数の式」でない
  「y = x2 」は「関数の式」です
という事が言えます。例を出します。

例1:↓「y2  = x」は関数でない
  
  「f(x2) = x」と式を変形した「f(x) = ±√x」は「関数の式」ではありません。
  「y2  = x」と式を変形した「y = ±√x」は「関数の式」ではありません。
この式は引数の「x = 4」として計算すると、
  「y = ±√4」
となります
「y」の答えに「+2」と「−2」の2つの可能性が出てしまう為、
「関数の式」とは言えません。
「関数f(x)」や「関数y」の答えは必ず1つで無ければいけません。

例2:↓「y = x2」は関数である
  
  「f(x) = x2」は「関数の式」です。
  「y = x2」は「関数の式」です。
この式は引数の「x」を「x = +2」や「x = −2」とした場合、
  「y = 22」や「y = −22
となり、
これらを計算すると「y」は必ず1つの答えである
  「y = 4」
となります。
故に「関数の式」という事が出来ます。


1次式2次式3次式とは(次数と次式と元)
この後で「方程式」と「関数」についてを学ぶためには、
「n次数」と「n次式」についての理解が必要となりますので説明します。
式の中で
  「実数」の部分を「0次数」
  「変数(xやyなど)」が「単独」で使われた部分を「1次数」
  「変数(xやyなど)」同士をn回「掛けた」部分を「n次数」
と表現して、
  その式の中で使われる一番大きな次数の数をnとすると、
  その式は「n次式」の式と言えます。
式の中で使われた最大の「次数」が
  「0次数」なら「0次数」
  「1次数」なら「1次式」
  「2次数」なら「2次式」

「次式」の判断例を幾つか見てみましょう。
「1+2*3」→「0次式」
  「1」は0次数、「2*3」は0次数
  この式の「最大次数は0」の為「0次式」です。
「x+1」→「1次式」
  「x」は1次数、「1」は0次数
  この式の「最大次数は1」の為「1次式」です。
「x2」→「2次式」
  「x2」は2次式
  この式の「最大次数は2」の為「2次式」です。
「x2−abc+4d3e+2」→「3次式」
  「x2」は2次式、「abc」は3次式、「4d3e」は2次式、「2」は0次式
  この式の「最大次数は3」の為「3次式」です。

「元」について…
「式」の中にある「変数の種類」の総数を「元」と言います。
  「6x2+4x−10」→「1元2次式」
  「6x2+4y−10z」→「3元2次式」
  「6xyz」→「3元1次式」
  「6x2yz」→「3元3次式」
後述の「方程式」の時は以下のような呼び方ができます。(この例の右辺数値は適当です)
  「6x2+4x−10=0」→「1元2次方程式」
  「6x2+4y−10z=1」→「3元2次方程式」
  「6xyz=2」→「3元1次方程式」
  「6x2yz=3」→「3元3次方程式」


「等式」と「不等式」と「恒等式」と「方程式」と「関数」の違い
「恒等式」と「方程式」と「関数」があやふやだと困るので、
ここでそれぞれの違いを軽くまとめておきます。
「等式」とは
「=」(イコール)で結ばれた式の事です。
  「(式A)=(式B)」
  「2+3 = 4+1」や「a+b = c+d」など
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しい。
「=」(イコール)の事を「等号」と言います。

「不等式」とは
「<や>」「≧や≦」「≠」(不等号)などで結ばれた式の事です。
  「(式A)<(式B)」
  「1+2 < 3+4」や「a+b < b+d」など
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しくない(不等である)。
「≠」の事を「不等号」と言います。

「恒等式」とは(「等式」の一部)
「公式、定理、定義、法則」などと呼ばれる
「=」で結ばれた「証明する為の等式」は全て「恒等式」です。
  「(式A)= (式B)」
  「1 = 1.0」や「x2 = x*x」や
  「(x + y)2 = x2 + 2xy + y2」など
  式で使われた「変数(xやyなど)」にどんな値が入っても
  「左の式」と「右の式」のバランスが等しくなり式が成立する。
  (「証明する為の等式」であれば、変数が式になくても良い)
「恒等式」は「等式」の中の一部です。

「方程式」とは(一次方程式 二次方程式 三次方程式)
「答えを解く為に存在する問題となる等式」つまり、
「答えを解く為の等式」の事を「方程式」と呼びます。
  「(式A)=(式B)」
  「2x+1 = 7」や「x2+3x−4 = 0」など
  「変数(xやyなど)」の「答えを解く為の等式」。
「方程式」は「等式」の中の一部です。

「方程式」では式が「1次式、2次式、3次式」かによって、
「一次方程式、二次方程式、三次方程式」と呼び方が変わります。
「方程式」は変数「xやy」などの、分からない変数の解を求める為に使う式です。
  「一次方程式」の例(1次式)
    「2x−2 = 0」は「x = 1」が答え。
    「2x+1 = 7」は「x = 3」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1215392483
  「二次方程式」の例(2次式)
    「x2+3x−4 = 0」は因数分解(因数分解は後ほど習います)すると
    「(x+4)*(x−1) = 0」となり「x = −4とx = 1」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1161228770
  「三次方程式」の例(3次式)
    「x3−2x2−11x+12 = 0」は「x = -3とx = 1とx = 4」が答え。
    参考→http://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554
「方程式」では「恒等式」を使用して答えを解きます。

「関数」とは(1次関数2次関数3次関数)
「関数式」は「グラフ化」した物とセットでよく扱われます。
  「xに何か値を入れると必ずyの値が1つに決まる」式
です。
「=の右側の式」は
  「変数」に値が入った時に変換するルールとなる式
となります。
  「(関数)=(変換ルール式)」
  「関数式」は以下の形の式となります。
    「f(x) = x+2」もしくは「y = x+2」
  です。
  更に「関数」を計算した場合、
    「f(x) = x+2」では「f(1) = 3」です。
    「y = x+2」では「x=が1のときy=3」です。
  と記述する事が可能です。
「関数式」で使用する「=」は「等式」とは違い「変換ルール式」を指定するものです。

注意:
  「関数」同士の「等式」や「方程式」の事を
  「関数等式」や「関数方程式」と言います。
    「f(x+y) = f(x)+f(y)」
  のように記述します。
  ここでの「=」は「等式」を意味します。
  「関数式」で使用する「=」は「変換ルール式」を指定します。
  違いに注意して下さい。

「関数」では「=の右側の式」が「1次式、2次式、3次式」かによって、
「1次関数、2次関数、3次関数」と呼び方が変わります。
「関数」は「変数」に様々な数値を入れた時の「解の値の変化」を知る為に使う式です。
  「1次関数」の例(1次式)
    「f(x) = 2x−2」もしくは「y = 2x−2」(2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D+2x-2
  「2次関数」の例(2次式)
    「f(x) = x2+3x−4」もしくは「y = x2+3x−4」(2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E2%2B3x-4
  「3次関数」の例(3次式)
    「f(x) = x3−2x2−11x+12」もしくは「y = x3−2x2−11x+12」
    (2つは同じ意味の式)
    参考→http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E3%E2%88%922x%5E2%E2%88%9211x%EF%BC%8B12


1次関数2次関数3次関数のグラフ
「関数」はグラフにした際、
  「1次関数」は「直線」
  「2次関数」は「放物線」
  「3次関数」は「?線(下記グラフ参照)」
となります。
  
  「1次関数」直線グラフ、「2次関数」放物線グラフ
  については「他の章」で詳しく学ぶ予定です。




C# 統計・微分積分・線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw07





以下のサイトを参考にしました。

【2次関数】f (x)の意味
http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0205.html

関数f(x)[意味・使い方・読み方]
http://manapedia.jp/text/2501

恒等式と等式の違いは何ですか?
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1348651388

方程式と恒等式の違い
https://mathtrain.jp/equ_iden

【二次関数】
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00010

3次関数はどうなる?
http://mtf.z-abc.com/?eid=829022

グラフィカルに数式を表示できる
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x

数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm

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