2017年8月30日水曜日

C# 数学2 「正弦定理、余弦定理」と証明(円周角の定理と外角の定理と四角形の外接円)

C# 統計・微分積分・線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw02

ここでは、
「×」を「*」
「÷」や「分数」を「/」
で表現します。

説明にあたって以下の呼び方をする事があります。
  sinA=sinθ=正弦=対辺の比率←このサイトでは「対辺率」とも呼びます
  cosA=cosθ=余弦=底辺の比率←このサイトでは「底辺率」とも呼びます
  tanA=tanθ=正接=斜辺の傾き←このサイトでは「傾き」とも呼びます



「△」「∠」「なす角」「外接円」について



文字辞書変換
「△」は「サンカク」で変換
「∠」は「カク」で変換出来ます。

三角形「△」
「△」は三つの辺で成り立つ「三角形」を表します。
「△ABC」と書いた場合、
「∠A∠B∠C」で構成された三角形を指します。

角「∠」
「∠」は「角」を表す物です。
「∠A」はAの角そのものです。
厳密には角度を表す場合の「∠Aの角度」とは区別されますが、
「∠A = 00°」という書き方が普通に使われます。

「なす角」
「∠A」を「∠BAC」と書く事もあります。
(「∠BAC」の真ん中の文字の「∠A」を指す。)
また、「∠A」の角度の事を
「辺ABと辺ACのなす角」や「辺c辺bのなす角」
といった言い方をします。

「外接円」「内接円」
「△ABCの外接円」と書いた場合、
「∠A∠B∠C」に接点のある「正円」の事を指します。
「△ABCの内接円」と書いた場合、
「三角形の3辺」に接する「正円」の事を指します。
  

声に出す時は…
「a」は「辺a」ヘンエー
「∠A」は「角A」カクエー
と、「辺」と「角」で区別した方が認識ズレを防げます。



「正弦定理」と「余弦定理」とは


「正弦」と「余弦」
  
「正弦定理」と「余弦定理」は
三角形の「辺」や「角度」を計算する事の出来る「定理」です。
「正弦定理」では「外接円」の「半径」も求める事が出来ます。

「正弦」は「sin」、「余弦」は「cos」の事を指します。
その為、
「正弦定理」は「sin」の定理(対辺の比率sinを使った公式)、
「余弦定理」は「cos」の定理(底辺の比率cosを使った公式)、
と言われています。


「正弦定理」と「余弦定理」で求める
「三角形」の辺や角度を求める際、
「正弦定理」を使うと、
  「1つの辺の長さ」と「2つの角度」から他の「2つの辺の長さ」
  「2つの辺の長さ」と「1つの角度」から他の「1つの角度」
  「一つの辺」とそれと向かい合った「1つの角度」から「外接円の半径R」
を求める事が出来ます。
「余弦定理」を使うと
  「2つの辺の長さ」と「1つの角度」から他の「1つの辺の長さ」を求める。
  「3つの辺の長さ」から「3つの角度」を求める。
を求める事が出来ます。

極端な話、
三角形でさえあれば「正弦定理」か「余弦定理」を使う事で、
・ある「1つの辺の長さ」が知りたい場合
  他の「1つの辺の長さ」と「2つの角度」
  か
  他の「2つの辺の長さ」と「1つの角度」
のどちらかが分かれば求まります。
・ある「1つの角度」が知りたい場合
  他の「2つの角度」
  か
  「3つの辺」
のどちらかが分かれば求まります。
ってだけの事です。


「C# 数学1」で
「直角三角形」のときに使用出来る「辺の比率」や「内角」を求める事が出来る
「三角比」を学びました。
「正弦定理」と「余弦定理」は「(直角でない)三角形」に対しても
「各辺の値」や「内角」を求める事が出来ます。
この後に学ぶ「正弦定理」「余弦定理」の証明を読むと、
結局直角三角形の「三角比」を使いこれらの証明が行われている事が分かると思います。



「正弦定理」計算方法


「正弦定理」を使った計算の方法
  

「△ABC」があり、
「BC間を辺a」「AC間を辺b」「AB間を辺c」として、
「外接円」の半径を「R」とする。
結果、
  「∠Aの対辺が辺a」
  「∠Bの対辺が辺b」
  「∠Cの対辺が辺c」
となります。

この時、以下の定理が成り立ちます。

  
  この式を変形すれば、
  「1つの辺の長さ」と「2つの角度」から
  他の「2つの辺の長さ」を求める事が出来ます。

「正弦定理」を使い、
「辺a」を求める形に式を変形してみます。
  
この、
「正弦定理」の式を変形した『「辺A」を求める式』から
『各「辺の値」を求める式』を作ると以下の形にまとめる事が出来ます。
  

「正弦定理」の式を使い、
「sin∠A」を求める形に式を変形してみます。
そこから更に「逆三角関数」を使い、
直接「∠A」を求められるか試してみます。
  
この、
「正弦定理」の式を変形した『「sin∠A」を求める式』から
『各「sinの角度」を求める式』を作ると以下の形にまとめる事が出来ます。
  
  この式の形は非常によく使われる為、
  「正弦定理」とセットでよく覚えられているようです。

また、
以下のように式を変形すると
「三角形の外接円の半径R」を計算する事ができます。
  



「余弦定理」計算方法


「余弦定理」を使った計算の方法

「第一余弦定理」は
  
  「第一余弦定理」は現在あまり使われていません。
  その為、
  最近では「余弦定理」と言った時は暗黙的に
  「第二余弦定理」の事を指します。

「第二余弦定理」は
  
  「2つの辺の長さ」と「1つの角度」から
  他の「1つの辺の長さ」を求める事が出来ます。
  式を変形すれば、
  「3つの辺の長さ」から「3つの角度」を求める事が出来ます。

「第二余弦定理」を元に「cos角度」を求める形に式を変形すると、
  
以下のような形となります。
  
  この形は非常によく使われる為、
  「第二余弦定理」とセットでよく覚えられているようです。

『「第二余弦定理」の式変形後』の「sin∠A」を求める式から、
「逆三角関数」を使い、直接「∠A」を求められるか試してみます。
  


「正弦定理」と「余弦定理」を使った計算例:
実際に「正弦定理」と「余弦定理」を使って計算をしてみましょう。

  
「∠B = 45°」「辺b = 4」「辺c = 2√6」の情報から、
他の全ての辺と角度を求めます。
まず、
  「正弦定理」の式
  「sin∠C =  辺c* sin∠B / 辺b)」を使って
  「sin∠C = 2√6 * sin45° / 4)」を解くと、
  「sin∠C = √3/2」
  「三角関数表」により「√3/2 = 60°」ですので、
  「∠C = 60°」となります。
次に、
  「内角の和は必ず180度」となるので、
  「∠A = 180° − (∠B+∠C)」を使って
  「∠A = 180° − (45°+∠60°)」を解くと、
  「∠A = 75°」となります。
最後に「辺a」を求めます。
  「第一余弦定理」の式
  「a = b*cos∠C + c*cos∠B」を使って
  「a = 4*cos60° + 2√6*cos45°」を解くと、
  「a = 2+2√3」となります。
結果、
  
となります。



「円周角の定理」(外角の定理)と「四角形の外接円」


「正弦定理」の証明を行う前に
「円周角の定理」と「外角の定理」と「四角形の外接円」について知る必要があります。


「円周角」と「中心角」とは
「円周角」「中心角」は以下の部分の事を指します
  


「円周角の定理」
「円周角」と「中心角」は常に以下のような関係にあります。
  
この為、
「直径」の線を辺として三角形を作ると、
必ず「円周角」が「90°」の「直角三角形」となります。
  


「円周角の定理」の証明(外角の定理)
「円周角の定理」の証明を行います。
まずは三角形の「外角の定理」を知っておく必要があります。
三角形の「外角の定理」
  
それでは、
「円周角の定理」の証明を行います。

「円周角の定理」の証明、その1
  

「円周角の定理」の証明、その2
  

「円周角の定理」の証明、その3
  

「円周角の定理」の証明、その4
  上記『「円周角の定理」の証明、その1〜3』により、
  常に「円周角の2倍が中心角」である事がわかります。
  それにより、
    円の
    「中心角」が同じ角度であれば、
    「円周角」の角度はどの位置にあっても常に「同じ角度」
  となる事が分かります。


「円周角の定理の逆」
  
この「円周角の定理の逆」を使用すれば、
以下のようにして四角形の各角度を求める事が出できます。
  


「四角形の外接円」
  
「四角形の外接円の性質」の証明は以下の通りです。
  



「正弦定理」の証明


三角形の角度の種類(鋭角、直角、鈍角)
三角形の角度には「鋭角、直角、鈍角」の3種類が存在します。
  
「∠A」の角度が「鋭角」か「直角」か「鈍角」かによって、
「正弦定理」の証明方法が変わります。


「正弦定理」の覚え方
「正弦定理」を覚える
  
  上記公式の角度と辺の関係は以下のイメージで覚えておくと良さそうです。
  

「辺」を求める形を覚える(正弦定理)
「正弦定理」の公式から「辺a」を知る為に、
「辺aの値」を求める式に変形すると以下の式となります。
  (式の変形方法は前述『「正弦定理」計算方法』に記述してあります)
  
  この『「正弦定理」の式変形後』の式は無理に覚える必要はなく、
  毎回「正弦定理」の公式から式を変形して導き出した方が早いです。
  一応この式をイメージで表すと以下のような感じになります。
  

「角度」を求める形を覚える(正弦定理)
「正弦定理」の公式から「sin∠A」を知る為に、
「sinの角度」を求める式に変形すると以下の式となります。
  (式の変形方法は前述『「正弦定理」計算方法』に記述してあります)
  
  この『「正弦定理」の式変形後』の式は無理に覚える必要はなく、
  毎回「正弦定理」の公式から式を変形して導き出した方が早いです。
  一応この式をイメージで表すと以下のような感じになります。
  

「正弦定理」は「sin」を使用した定理の事です。
(対辺の比率sinを使用した定理。「正弦」の事を「sin」と呼びます)

それでは、
「正弦定理」の証明を
「鋭角」「直角」「鈍角」それぞれの状況で行います。


「鋭角(∠A<90°)」三角形の「正弦定理」の証明
  「正弦定理」の証明
  
この「辺a=sin∠A*2R」の式を利用して、
  
結果「鈍角」時において、
「正弦定理」と同じ式が成り立ちました。


「直角(∠A=90°)」三角形の「正弦定理」の証明
  「正弦定理」の証明
  
この「辺a=sin∠A*2R」の式を利用して、
  
結果「直角」時において、
「正弦定理」と同じ式が成り立ちました。


「鈍角(∠A>90°)」三角形の「正弦定理」の証明
  「正弦定理」の証明
  
この「辺a=sin∠A*2R」の式を利用して、
  
結果「鈍角」時において、
「正弦定理」と同じ式が成り立ちました。



「余弦定理」の証明に必要な知識


これから行う「余弦定理の証明」に必要となる知識を
ざっと羅列しておきます。


「三角比の各辺の値の求め方」「180°−θ公式」
これは、前回「C# 数学1」で学んだ内容ですね、
(「三角比の角辺の値の求め方」は「正弦定理の証明」でも出てきました)
  
「余弦定理」の証明では、以下のような形で頻繁に使用されますので、
しっかりと覚えておいて下さい。
  


「(三平方)ピタゴラスの定理」
これも、前回「C# 数学1」で学んだ内容ですね
  


「三角比」の公式4(と証明)
これは、始めて学ぶ公式ですので証明も行います。
  
証明は以下のようになります。
  



「第二余弦定理」の証明


三角形の角度の種類(鋭角、直角、鈍角)
三角形の角度には「鋭角、直角、鈍角」の3種類が存在します。
  
「∠A」の角度が「鋭角」か「直角」か「鈍角」かによって、
「第二余弦定理」の証明方法が変わります。


「第二余弦定理」の覚え方
「第二余弦定理」を覚える
  
  上記公式の式は以下のイメージで覚えておくと良さそうです。
  
  「辺a」以外の「辺b」「辺c」を求める式でも
  同じ手順で式を作る事ができます。

「角度」を求める形を覚える(余弦定理)
「第二余弦定理」の公式から「cos∠A」などの
「cosの角度」を求める形に式を変形すると以下ような式となります。
 (式の変形方法は前述『「余弦定理」計算方法』に記述してあります)
  
  上記全ての辺から角度を求める式は以下のイメージで覚えておくと良さそうです。
  
  「cos∠A」以外の「cos∠B」「cos∠C」を求める式でも
  同じ手順で式を作る事ができます。

「余弦定理」は「cos」を使用した定理の事です。
(底辺の比率cosを使用した定理。「余弦」の事を「cos」と呼びます)

それでは、
「第二余弦定理」の証明を
「鋭角」「直角」「鈍角」それぞれの状況で行います。


「鋭角(∠A<90°)」三角形の「第二余弦定理」の証明
  「第二余弦定理」の証明
  
この「a=(c−b*cos∠A)+(b*sin∠A)」の式を利用して、
  
  同様に
  「b= c+a−2ca*cos∠B」
  「c= a+b−2ab*cos∠C」
  も成り立ちます。
結果「鈍角」時において、
「余弦定理」と同じ式が成り立ちました。

では、以下のような「鈍角」の三角形の時はどう証明すれば良いのでしょうか?
  
これは、以下のように考えれば解決できます。
  
これで証明できるのですが、
楽をしないで向き合った証明の仕方も試してみます。

  「第二余弦定理」の証明
  
この「a=(b*cos∠A−c)+(b*sin∠A)」の式を利用して、
  
  同様に
  「b= c+a−2ca*cos∠B」
  「c= a+b−2ab*cos∠C」
  も成り立ちます。
結果「鈍角」時において、
「余弦定理」と同じ式が成り立ちました。


「直角(∠A=90°)」三角形の「第二余弦定理」の証明
  「第二余弦定理」の証明
  
  同様に
  「b= c+a−2ca*cos∠B」
  「c= a+b−2ab*cos∠C」
  も成り立ちます。
結果「直角」時において、
「余弦定理」と同じ式が成り立ちました。


「鈍角(∠A>90°)」三角形の「余弦定理」の証明
  「第二余弦定理」の証明
  
この「a=(c−b*cos∠A)+(b*sin∠A)」の式を利用して、
  
  同様に
  「b= c+a−2ca*cos∠B」
  「c= a+b−2ab*cos∠C」
  も成り立ちます。
結果「鈍角」時において、
「余弦定理」と同じ式が成り立ちました。



「第一余弦定理」の証明


証明の為の三角形の形2パターン
三角形の「底辺」に対して「頂点∠A」がどの位置にあるかによって
  
「第一余弦定理」の証明方法が変わります。


「第一余弦定理」のおさらい
  
通常「余弦定理」と言った場合「第二余弦定理」の事を指します。
「第一余弦定理」の方の定理は使われる事が少ないです。


「頂点が底辺の範囲内」のときの「第一余弦定理」の証明
  「第一余弦定理」の証明
  
  同様に
  「辺b= 辺c*cos∠A + 辺a*cos∠C」
  「辺c= 辺a*cos∠B + 辺b*cos∠A」
  も成り立ちます。
結果「頂点が底辺の範囲内」のときにおいて、
「第一余弦定理」と同じ式が成り立ちました。


「頂点が底辺の範囲外」のときの「第一余弦定理」の証明
  「第一余弦定理」の証明
  
  同様に
  「辺b= 辺c*cos∠A + 辺a*cos∠C」
  「辺c= 辺a*cos∠B + 辺b*cos∠A」
も成り立ちます。
結果「頂点が底辺の範囲内」のときにおいて、
「第一余弦定理」と同じ式が成り立ちました。



まとめ「正弦定理」「余弦定理」



「正弦定理」と「外接円の半径を求める形」
  


「正弦定理」の式変形(辺を求める形)
  


「正弦定理」の式変形(sin角度を求める形)
  


「第一余弦定理」(あまり使われません)
  


「第二余弦定理」(辺を求める)
  


「第二余弦定理」の式変形(cos角度を求める形)
   




C# 統計・微分積分・線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw03





以下のサイトを参考にしました。

正弦定理とは何か?2つの視点から分かる公式の覚え方・考え方
http://atarimae.biz/archives/18398

正弦定理を使った練習問題一覧
http://manapedia.jp/text/2916?page=3


正弦定理と余弦定理の違いと使い方
http://www24.atpages.jp/venvenkazuya/mathA/Agraphic6.php




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