2017年9月25日月曜日

C# 数学7 「集合記号 論理記号 命題論理 述語論理 証明」(NZQRC ∈∉⊂⊆⊊∩∪ΦA− ∧&∨¬⇒→⊕⊻≠⇔⇄↔≡=∀∃)

C# 統計・微分積分・線形代数への道
目次→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw07

「集合」と「集合記号」と「論理記号」
「命題の逆 裏 対偶」、「P ⇒ Qの考察」
「命題論理、述語論理(条件)」「証明方法」「理論の構築」
メモっておく。

ここでは、
「×」を「*」
「÷」や「分数」を「/」
で表現します。



「集合」(自然数N整数Z有理数Q実数R複素数C 無理数R-Q)と「要素」


「集合」と「要素」…
「集合」とは「{1, 3, 5, 7}」などの「複数の要素(数字など)」の集まり(配列)の事です。
  「A = {1, 3, 5, 7}」
  「集合A」
  「要素1, 3, 5, 7」
のような書き方をします。
「集合」の記号は「英字の大文字1字」で表す事が多いです。
注意点としては、
「集合」の「要素」は順番を持ちません。(「順序集合」は除く)
その為、
「A = {1, 3, 5, 7}」でも「A = {5, 3, 1, 7}」でも同じ意味となります。

「集合」はC#で扱う「配列」にイメージが近いのですが、
大きな違いは要素を指定する為の方法(「インデックス(添え字)」の扱い方)です。
  「集合A」(配列A)があります。
  「集合A」(配列A)には「要素a、b、c、d」が存在します。
  「要素a = 1、b = 3、c = 5、d = 7」が各要素の数値の場合、
  「集合Aの要素bは3となります」
というような(C#の連想配列みたいな)言い回しが出来ます。
ただ普段はもっとシンプルに、
  「集合(配列)A = {1, 3, 5, 7}」が存在します。
  「集合Aは要素3を持っています」
というように、
「要素?」という言葉が直接「配列内の値(内容)」を指す言い方をします。


「集合」の「濃度」は要素の数
「集合A」の「濃度」と言った場合、要素の総数(Length)の事を指します。
「濃度」を表す時は「集合」を「||」で囲み、
「|A|」のように書きます。(絶対値absと同じ書き方です)
例えば
  「A = {1, 3, 5, 7}」は要素の総数が4つなので、
  「|A| = 4」
となります。


「集合」を表す文字(自然数N整数Z有理数Q実数R複素数C 無理数R-Q)…
「集合」で特定条件範囲の数字を使用したい場合、
あらかじめ決められた文字(NZQRCのメタ文字)が使用できます。
  

N」:「自然数」の全値(Natural number)ℕ
    1から1ずつ足した全ての数。
    プラスの「整数」の事。
    0とマイナスや小数点は含まれない。
    (但し、大学以降での集合論などでは
    0を「自然数」に含める前提で話が進む事があるので注意が必要)

Z」:「整数」の全値(Zahlen、Integer)ℤ
    1刻みの全ての数。
    0を含むプラスとマイナスの全ての数の事。
    但し、小数点は含まれない。

Q」:「有理数」の全値(Quotient)ℚ
    「整数の分数」の
      「整数 / 0以外の整数 = ?」(整数の比)
    で表せる全ての数「有理数」の事。

    「有理数」とは…
      
      ・「自然数」「整数」は全て「有理数」です。
        「プラスの整数」や「マイナスの整数」は
        「1 =  1 / 1」や「-1 = -1 / 1」で全て表せるので「有理数」
      ・「有理数」には「0」も含まれます。
        「0」は
        「0 = 0 / 1」で表せるので「有理数」
      ・「ランダムに繰り返さない小数点」は全て「有理数」です。
        「0.1 = 1 / 10」、「0.01 = 1 / 100」、
        「0.123 = 123/1000」で表せるので「有理数」。
      ・「同じパターンの数字が繰り返す小数点」も「有理数」です。
        「0.3333… = 1 / 3」や、
        「0.12341234… = 1234 / 9999」などは、
        「同じパターンの数字が繰り返す小数点」なので「有理数」。
        これらは「整数の分数」でも表す事がでるので「有理数」。

    「無理数」とは…(「R-Q」で表します)ℝ-ℚ
      
      ・ランダムに繰り返される小数点は「無理数」です。
        「π」のように「3.141592…」と「ランダムな数字が∞に続く」場合、
        「無理数」。
      ・「√を外せない数」は全て「無理数」となります。
        「√2」は√を外せないので「無理数」。
        「√2」の√を無理矢理外したとしても、
        「1.414213…」と「ランダムな数字が∞に続く」ので「無理数」。
        (「√4」などは√を外せば「2」となるので「有理数」。)

R」:「実数」の全値(Real number)ℝ
    「自然数」「整数」「有理数」「無理数」「小数」「分数」「0」
    世に存在する全ての数は「実数」です。

C」:「複素数」の全値(Complex number)ℂ
    「実数」と「虚数i」を合わせた全数字の事。
    「実数」と「虚数i」を組み合わせると「複素数」になります。

    「虚数i」とは…
      「i * i = -1」や「i2 = -1」というあり得ない計算式の、
      「i」が「虚数i」となります。
      この式を変形すると、
      「虚数i = √(-1)」という世に存在出来ない数字となります。
      「虚数i」とは「二乗したら-1となる」想像上の数です。

    「複素数」とは…
      「実数」は「1」「0.5」「-5」などと記述されます。
      「虚数i」は「i」「3i」「-8i」などと記述されます。
      「複素数」は「3+8i」など「実数+虚数i」の式で構成された物です。
      「複素数平面(ガウス平面)」という物を利用すれば
      「複素数z = x + yi」の公式を使い、
      「横x」を実数の軸「実軸x」、「縦y」を虚数の軸「虚軸y」と仮定して
      「3+8i」などの「複素数」を2次元の「ベクトル」で表す事ができます。
      3次元より上の次元が扱える「超複素数」なども存在します。
      ちなみに、
      「複素数」は「素数」とは何の関係もありません。

    「超複素数」とは…
      ここでは関係ありませんが、
      「超複素数」は「クォータニオン」と呼ばれ、
      「3次元行列」や「3次元ベクトル」の計算に使います。    
      「クォータニオン」はCPUの演算負荷を低く抑えながら
      「行列」の計算を素早く行う為のアルゴリズムで使われています。
      後に、回転行列などで扱うかもしれません。

「複素数」や「虚数i」については、
今はあまり深入りする必要が無いので分からないまま先に進めます。
↓深入りしたい方はこれらのサイトよ読むと良いかもしれません。
「虚数とは何か?複素数とは何か?が一気に分かりやすくなる記事」
https://atarimae.biz/archives/500
「複素数とベクトルの話」
http://dende777.fc2web.com/ziten/denkiziten/bekutoru1/fukusosu.pdf
「ゲームの中に虚数あり」
http://enjoymath.pomb.org/?p=1093
「やっぱり欲しい回転行列⇔クォータニオン相互変換」
http://marupeke296.com/DXG_No58_RotQuaternionTrans.html



集合記号「∈∉⊂⊆⊊、∩∪Φ(大文字のファイ)A


「集合記号」は
「状態」を示す基本5パターン
「エリア(範囲)」を示す基本5パターンがあります。
  「∈⊂⊆∩∪」は「シュウゴウ」で変換できます。
  「Φ」は「ファイ」で変換できます。


集合「状態」を示す物基本4パターン(∈∉⊂⊆⊊)
属する∈
 
「a ∈ A」…「属する∈」
  「要素aは集合Aに属す」状態。
  「集合Aに属する要素a」、「集合Aは要素aを持つ」などとも読む。

属さない∉(not)
 
「b ∉ A」…「属さない∉」
  「要素bは集合Aに属さない」状態。
  「集合Aに属さない要素b」、「集合Aは要素bを持たない」などとも読む。

部分集合⊆
 
「A ⊆ B」…「部分集合⊆」(⊆を⊂と記述する流儀もあります)
  「集合Aが集合Bに含まれる」状態。
  「集合Bの部分集合A」や
  「集合Aの上位集合B」などとも読む。
  「包含」とも呼ばれます。
  「包含関係」…1つの集合に別の集合が含まれている」状態。

部分集合でない⊄
 
「A ⊄ B」…「部分集合でない⊄」
  「集合Aが集合Bに含まれない」状態。
  「集合Bの部分集合でない集合A」や
  「集合Aの上位集合ではない集合B」
  「包含関係にない」状態

真部分集合⊊
 
「A ⊊ B」…「真部分集合⊊」(⊊を⊂と記述する流儀もあります)
  「集合Aが集合Bに含まれ
  且つ、集合Aと集合Bが同じでない」状態。
  「集合Aの一部だが、集合Aとは異なるものが集合B」


集合「エリア(範囲)」を示す基本5パターン(∩∪UΦA
積集合、共通集合∩(and)

「A ∩ B」…「積集合∩、共通集合∩」
  「集合A & 集合B」の範囲。
  「集合A および 集合B」、「集合A かつ 集合B」などとも読む。

和集合、合併集合∪(or)
 
「A ∪ B」…「和集合∪、合併集合∪」
  「集合A or 集合B」の範囲。
  「集合A または 集合B」、「集合A もしくは 集合B」などとも読む。

全体集合U
 
「U」…「全体集合U(大文字のユー)」
  「全エリア」の範囲。

空集合Φ
 
「Φ」…「空集合Φ(大文字のファイ、フィー)」
  「集合や要素を持たない集合」の範囲を「Φ」と言います。
  故にどのような「集合」の「部分集合」にも必ず「Φ」が含まれます。
  「集合内」には必ず「集合や要素の無い範囲(エリア)」が
   存在する為です。
  例:
    「集合A={1,2}」の部分集合は?
    「{1}と{2}と{1,2}と{Φ}」が
    「集合A」の「部分集合」です。と言えます。
本来「空集合」は「∅」と記述し「Φファイ」とは違う物だったのですが、
最近では「空集合」を「ファイ」と読み「Φ」で代用する事も多い為、
ここでは「空集合Φ(ファイ)」として進めます。

補集合A−(not)
 
「A」…「補集合A」(上部に横線でnotとなる)
(「complement」の「C」を付けて「A」と記述する事もあります)
  「not 集合A」の範囲。
  「集合Aを除く」などとも読む。
  横線の意味に注意:
    


ドモルガンの法則…
「集合」では以下の公式がなりたちます。
  
  「not(A & B)=(notA or notB)」
  
  「not(A or B)=(notA & notB)」

C#で記述した場合…
「not(A & B)」と「(notA or notB)」は同じ
        //この2つの条件式は同じ意味です
        int _A1 = 0, _A2 = 0, _B1 = 0, _B2 = 0;
        if (!(_A1 == _A2 && _B1 == _B2)){   処理   }
        // 「and ←→ or」 への変換↑↓
        if ((_A1 != _A2) || (_B1 != _B2)){   処理   }
「not(A or B)」と「(notA & notB)」は同じ
        //この2つの条件式は同じ意味です
        int _A1 = 0, _A2 = 0, _B1 = 0, _B2 = 0;
        if (!(_A1 == _A2 || _B1 == _B2)){   処理   }
        // 「or ←→ and」 への変換↑↓
        if ((_A1 != _A2) && (_B1 != _B2)){   処理   }
プログラムを記述するに当たり、最初の頃に覚えなければいけない法則です。


「集合」を「n(集合式)」や「|集合式|」で記述
「集合」を数式で記述する時「n(集合式)」で表す事が出来ます。
たとえば、
  「集合A」は「n(A)」
  「A∩B」は「n(A∩B)」
のような書き方が出来ます。

「集合」を数式で記述する時「|集合式|」でも表す事が出来ます。
(「|集合式|」は本来、「| |」で挟まれた式の「要素数」を表す記述です。)
たとえば、
  「集合A」は「|A|」(「|A|」は「集合Aの要素数」)
  「A∩B」は「|A∩B|」(「|A∩B|」は「A∩Bの要素数」)
のような書き方が出来ます。

「n(集合式)」と「|集合式|」はどちらの書き方も一般的によく使われますので、
覚えておきましょう。


「和集合」の式(2つの集合、3つの集合)
2つの集合の「和集合」の式
  「n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)」
  

3つの集合の「和集合」の式
  「n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)」
  



「集合」の「条件式、濃度、直積集合」記述


「集合」では「条件式」を記述する事により自由に「集合」を作る事が出来ます。
「条件に従った要素」で構成された「集合」を作りたい時に「条件式」を使います。

「条件式付き集合」の記述…
「条件式付き集合」は以下の形式で記述します。
  
  「集合」の名称は「A」以外でも良いです。
  「要素」の名称は「x」以外でも良いです。
「xの条件式」を記述する方法を説明します。

記述例1:
  「A = {x | -2 < x < 4, xは自然数N}」や、
  「A = {x | -2 < x < 4, x∈N}」
とした場合、「集合A」の要素はどのようになるでしょうか。
まず、
「自然数N」は「1以上の整数」を指します。
「x∈N」とした場合も「x」は「1以上の整数」を指しますね。
(「自然数N」に「x」が「属する∈」状態という意味です)
その中で、「-2より上、4より下」の数を抽出するので、
答えは
  「集合A = {1, 2, 3}」
となります。

記述例2:
  「A = {2n+1 | -2 < n < 3, 整数Z}」
とした場合、「集合A」の要素はどのようになるでしょうか。
この場合、
「整数Z」の範囲から「-2より上、3より下」を抽出すると
  「各要素n」は「{-1, 0, 1, 2}」
「各要素n」に「2n+1」を計算して、
答えは
  「集合A = {-1, 1, 3, 5}」
となります。

記述例3:
  「(X, Y) = {(x, y) | x+y=5, xとyは自然数N}」や、
  「(X, Y) = {(x, y) | x+y=5, x∈N, y∈N}」
とした場合、「集合A」の要素はどのようになるでしょうか。
答えは
  「集合(X,Y)={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}」
となります。


「P」と「P(x)」などの「条件式付き集合」の記述方法(重要)
「集合P」を
  集合P = {x | xは6の倍数}
のように記述すると、
  集合P = {6, 12, 18, 24, …}
となります。
この「条件付き集合P」は記述は以下のような書き方が可能です。
以下は全て同じ意味
  集合P = {x | xは6の倍数}
  集合P =「6の倍数」
  集合P( 6の倍数 )
  集合P(x) = {x | xは6の倍数}
  集合P(x) = 「6の倍数」
  条件P = {x | xは6の倍数}
  条件P = 「6の倍数」
  条件P( 6の倍数 )
  条件P(x) = {x | xは6の倍数}
  条件P(x) = 「6の倍数」


「集合」の「要素数」と「濃度」
「集合」の中にある「要素の数」を知りたい時には以下のように記述します。
  「集合A={1, 3, 5, 7}」
の「要素数」が知りたい時、
  「n(A) = 4」
と記述出来ます。

「集合」の「濃度」という言い方もあり、これも「要素数」の事を指します。
「集合A={1, 3, 5, 7}」の場合「集合Aの要素数は4」です。
これを「集合Aの濃度は4」と言います。
  「集合B={1, 3, 5, 7, 9}」
の「濃度」が知りたい時、
  「|B| = 5」 
  「#B = 5」
  「card(B) = 5」
などの記述の仕方が存在します。
「濃度」を語る場合は「集合」を「||」で囲って記述できます。
「濃度」を使用すると「全単射」や「全射、単射」の記述が可能になります。

単射」
「全単射」とは「集合」同士の要素が余りなく繋がっている状態の事を指します。
「集合Aから集合Bへ」の「全単射」は「|A|=|B|」のように記述します。
  
例えば「集合A={red, blue, yellow}」「集合B={赤, 青, 黄}」では
「|A|=|B|」であり「集合Aと集合Bは全単射です」と言えます。

射、単射」
「全射」は「|A| ≧ |B|」、「単射」は「|A| ≦ |B|」のように記述します。
  
「全射」「|A| ≧ |B|」は
  「集合A={red, アカ, blue, アオ, yellow}」「集合B={赤, 青, 黄}」
のような状態です。  
「単射」は「|A| ≦ |B|」
  「集合A={red, blue, yellow}」「集合B={白, 赤, 青, 黄, 緑, 紫,}」
のような状態です。

「写像map(集合A,集合B)」(配置集合)
「全単射」や「全射、単射」のような「集合同士の繋がり」の事を「写像」と言います。
「写像map」は「関数function」とも呼ばれ「map」や「f」で表現されます。
  「配置集合」
「集合A」から「集合B」への「写像全体を成す集合」を「配置集合」と呼び、
  「map(A,B)」や「f(A,B)」や「[A→B]」や「B
と記述されます。(写像で使う「→」は「論理包含→」とは別物なので注意!)
「配置集合」の「写像の数(繋がりのパターン数)」は
  「|map(A,B)|」や「|B||A|
のように記述します。
これだけだと分かり辛いので例を挙げます。
集合A={1, 2, 3}
集合B={4, 5}
「map(A,B)」の場合、
「集合A」の「各要素の写像先」を確認する時は
  「f(1)」「f(2)」「f(3)」
のように記述でき
「集合B」の「どの要素と繋がるか」は8種類のパターンがある事が分かります。
  
  「配置集合」の「濃度(要素数)」は以下のようにも計算出来ます。
    「|B||A|」=「|{4, 5}||{1, 2, 3}|」=「2」=8

「map(B,A)」の場合、
「集合B」の「各要素の写像先」を確認する時は
  「f(4)」「f(5)」
のように記述でき
「集合A」の「どの要素と繋がるか」は9種類のパターンがある事が分かります。
  
  「配置集合」の「濃度(要素数)」は以下のようにも計算出来ます。
  「|A||B|」=「|{1, 2, 3}||{4, 5}|」=「3」=9
「写像」については「C# 数学8」でも取り上げます。


「無限集合」同士の全単射
「集合A=自然数」や「集合B=整数」などは「濃度=∞」となります。
「濃度」が無限となる集合を「無限集合」と呼びます。
この2つの「無限集合」同士は「|A|=|B|」と見なし
「自然数Nと整数Zの無限集合同士は全単射」となります。
(ここでは掘り下げませんが、
「無限」にも実は大小が存在し比較が可能な場合があります。
「可算無限」より「非可算無限」の方が「大きな無限」です。
「可算無限」は「最も小さな無限」と言われます。)


「直積集合」について(直積、デカルト積)
「直積集合」は「直積」や「デカルト積」とも呼ばれます。
(「直積集合×」と「積集合∩」は意味が全く違いますので注意して下さい)
「2つの集合」の「順列」を全て抽出した「(順序)集合」を作る事を言います。
  集合A={1, 2}
  集合B={1, 2, 3}
の「直積集合」は
  A×B={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
となり、
  |A|×|B|=6
となります。(「|A×B|」とも記述出来ます)
  「(組み合わせでなく)順列」なので、
  「(1, 2)」と「(2, 1)」は別な要素としてカウントされます。

「直積集合」で作成される「集合」は「順序集合」です。
「順列集合」は「集合内の要素の順番」を加味する為、以下のようになります。
  集合A={1, 2}
  集合B={2, 1}
の「直積集合A×B」や「直積集合B×A」では
「集合内の要素の順番」を加味するため別の集合と見なします。
  A×B={(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1)}
  B×A={(2, 1), (2, 2), (1, 1), (1, 2)}


(「べき集合」と言う「集合の集合」を扱う「集合」については後述します)



「論理記号」(∧&∨¬⇒→⊕⊻≠⇔⇄↔≡=)


主な「論理記号」は
  基本の「and(∧)」「or(∨)」「not(¬) 」と
  「論理包含imp(⇒)」「排他的論理和xor(≠)」「同値xnor(⇔)」の
全部で6パターン。
(他に「全ての、任意の(∀)」や「ある(∃)」などの「論理記号」も存在します)
これらの「ベン図」と「真理値表」を記載します。
  「¬∨∧」は「シュウゴウ」で変換出来ます。
  「⇒≠⇔∀∃」は「キゴウ」で変換出来ます。
  「≠≡」は「=」で変換出来ます。


「真理値表」の「真1」と「偽0」の表記について
「真偽」記述方法を「真理値表」などでは
  「真」「True」「T」「yes」「Y」「1」
  「偽」「False」「F」「no」「N」「0」
と表現します。


「∧」「&」…「論理積and」「かつ」「および」
「P ∧ Q」「P & Q」
  
PかつQの「集合範囲内の各要素」は「真1」。
  


「∨」…「論理和or」「または」「もしくは」
「P ∨ Q」「P or Q」
  
PまたはQの「集合範囲内の各要素」は「真1」。
  


「¬」「!」…「否定not」「〜でない」
「¬P」「!P」
  
Pでない。Pのが成立しない「集合範囲内の各要素」は「真1」。
  


「⇒」「→」…「論理包含imp」「含意imp」(条件式)「証明▶〜ならば〜である」
「P ⇒ Q」はよく使われる「論理記号」の形です。
正しく理解しようとすると混乱しやすい「論理記号」ですので、
理屈の部分は後述するトピックで少しずつ詳しく説明する予定です。
「P ⇒ Q」は「!P or Q」や「!(P & !Q)」のような「論理式」でも記述が可能です。
「P ⇒ Q」(「PならばQ」と読む)(「PはQを含む、QはPに含まれる」)
一般的には、
  
のような「エリア(範囲)」で表現されるが、
  
  「!P or Q」としたとき「真偽」がどうなるか?
のような「条件」を指すと思った方が良い。

「論理包含imp」は以下のような「条件」で判断を行うと良い。
  
「論理包含imp」の判断が「真1」となる時には以下のような事が言えます。
  Pが成立して、Qも成立する状態。
  Pが成立しない状態。
 ▶「証明」としても「⇒」記号を使用出来ます。
  「P ⇒ Q」(「PならばQが成り立つ」と読む)
  「Pの式」が成り立った時、「Qの式」も同じように成り立つという意味です。
  但し、
  「Qの式」が成り立っても「Pの式」が成り立つとは限らないです。
  (「P ⇒ Q」であっても「Q ⇒ P」とは限らないです。)

bool boolFlg1 = true;
bool boolFlg2 = true;
//「boolFlg1 ⇒ boolFlg2」論理包括impの状態かチェック
if ( !boolFlg1 || boolFlg2 ){
  //「boolFlg1」が「boolFlg2」に含まれるならココに処理が来る
}
//「boolFlg1 ⇒ boolFlg2」は以下のように書く事も出来ます
if ( !(boolFlg1 && !boolFlg2) ){
  //「boolFlg1」が「boolFlg2」に含まれるならココに処理が来る
}


「≠」「⊻」「⊕」…「排他的論理和xor」「証明▶≠等しくない」
「≠」「P ⊻ Q」「P ⊕ Q」(「PエックスオアQ」と読む)
一般的には、
  
のような「エリア(範囲)」で表現されるが、
  
のような「条件」を指すと思った方が良い。

「排他的論理和xor」は以下のような「条件」で判断を行うと良い。
  
「排他的論理和xor」の判断が「真1」となる時には以下のような事が言えます。
  PとQは成り立たない(notの)状態。
  PとQが同じ(同値)にならない。
  Pが成立するとQは成立しない。Qが成立するとPは成立しない。
  (「P≠Q」は「(P∧¬Q)∨(¬P∧Q)」のような式でも表す事が出来ます)
▶「証明」としても「≠(ノットイコール)」記号を利用出来ます。
  「P ≠ Q」(「PとQは等しくない」と読む)
  「PとQ」は成り立たないという意味です。


「⇔」「⇄」(↔≡=)…「同値xnor」(又は「同値iff」)「証明▶互いに成り立つ」
「P ⇔ Q」(「PとQは同値である」と読む)
一般的には、
  
のような「エリア(範囲)」で表現されるが、
  
のような「条件」を指すと思った方が良い。

「同値xnor」は以下の様な「条件」で判断を行うと良い。
  
「同値xnor」の判断が「真1」となる時には以下のような事が言えます。
  Pが成立すれば、Qも成立する。Qが成立すればPも成立する。
  Pが成立しなければ、Qも成立しない。Qが成立しなければPも成立しない。
  「P ⇒ Q」と「Q ⇒ P」が互いに成り立ちます。
  (「xor」を「not」した物とも同じ結果となります)
▶「証明」としても「⇔や≡」の 記号を使用出来ます。
  「P ⇔ Q」(「PとQは同値。互いに成り立つ」と読みます)
  「Pの式」が成り立った時、「Qの式」も同じように成り立ち、
  逆に「Qの式」が成り立った時、「Pの式」も同じように成り立ちます。
  「PとQの式」で、
  式の見た目は違うが完全に同じ意味である場合などに使用されます。


「論理記号」使用例
「P ∧ Q」論理積and
  p「私は人間です」が真実、q「私は猫です」が真実なら
    p∧q「私は猫人間です(人間でも猫でもありません)」が真実
  P「20歳以下です」が真実、Q「10歳以上です」が真実なら
    P∧Q「10歳以上 かつ 20歳以下です」が真実
「P ∨ Q」論理和or
  p「私は人間です」が真実、q「私は猫です」が真実なら
    p∨q「私は人間か猫か猫人間です」が真実
  P「20歳以上です」が真実でQ「10歳以下です」が真実なら
    P∨Q「20歳以上 または10歳以下です」が真実
「¬P」否定not
  p「私は猫人間です」が真実なら
    ¬p「私は猫人間ではありません」が真実
  p「15歳です」が真実なら
    ¬p「15歳ではない年齢です」が真実
「P ⇒ Q」論理包含imp
  p「私は猫娘です」が真実、q「私は猫人間です」が真実なら
    p⇒q「私が猫娘ならば私は猫人間である」が真実
  P「15歳以下です」が真実、Q「20歳以下です」が真実なら
    P⇒Q「15歳以下ならば20歳以下である」が真実
「P ≠ Q」排他的論理和xor
  p「私は人間です」が真実、q「私は猫です」が真実なら
    p≠q「私が人間と同時に猫である事は成り立ちません」が真実
  P「10歳以下です」が真実でQ「20歳以上です」が真実なら
    P≠Q「10歳以下であると同時に20歳以上である事は成り立ちません」が真実
「P ⇔ Q」同値xnor
  p「私は人です」が真実、q「私は人間です」が真実なら
    p⇔q「人と人間は同じです」が真実
  P「5年前10歳でした」が真実、q「5年後20歳です」が真実なら
    P⇔Q「15歳です」が真実

参考→wiki:論理演算
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E6%BC%94%E7%AE%97



「集合」と「論理演算」の関係


例えば「P(x) ∧ Q(x)」では、
「要素x」が「ベン図」の朱色の範囲領域内に存在するときに「真」となる為、
「要素x」の存在する範囲により以下のような結果の違いが出ます。
  
「P(6の倍数)、Q(3の倍数)」とすると「P ∧ Q」は以下のイメージです。
  
これらを踏まえ、
「ベン図」内のどの範囲に「要素x」が存在するのかで変わる「真偽」判定と
「論理演算」の「真理値表」との関係を示した物を見て行きましょう。

「and」(PかつQである)
  
  例:P「6の倍数」 Q「3の倍数」だと、
    (6の倍数から3の倍数の部分を抽出しても6の倍数となるので)
    P∧Q「6の倍数の集合(範囲)」  


「or」(PまたはQである)
  
  例:P「6の倍数」 Q「3の倍数」だと、
    (全ての数から6の倍数と3の倍数を抽出すると3の倍数となるので)
    P∨Q「3の倍数の集合(範囲)」


「not」(Pでない)
  
  例:P「6の倍数」だと、¬P「6の倍数ではない全ての数の集合(範囲)」


「論理包含⇒」(PならばQである)
  
  例:P「6の倍数」 Q「3の倍数」だと、
    P⇒Q「6の倍数ならば3の倍数である集合(範囲)」
    (6の倍数の範囲に3の倍数で無い部分は存在しないので、
    この場合「全ての数の集合(範囲)」とも言える)



「命題」と「否定」 (論理演算)


「論理演算(bool演算)」「論理変数(命題変数、bool変数)」について
  ・「論理演算(bool演算)」は「真偽」を返す
  コンピュータの世界では「論理演算」により様々な論理計算が行われます。
  「論理演算(bool演算)」は別名「bool演算」とも呼ばれます。
  「bool」は「真である1」か「偽である0」の2種類の値しか表現出来ません。
  例えば「論理演算」である
    「P ∧ Q」(p ∧ q)は常に「真1」を返す
    「P ∧ ¬Q」(p ∧ ¬q)は常に「偽0」を返す
    「¬P ∧ Q」(¬p ∧ q)は常に「偽0」を返す
    「¬P ∧ ¬Q」(¬p ∧ ¬q)は常に「偽0」を返す
  のように必ず「真偽」のどちらかを返します。
  このように「集合P」「集合Q」の各範囲内にある「要素」に対して
  「論理演算」を行うのに「論理記号」を使用する事になります。

  ・「論理変数(命題変数、bool変数)」は「真偽」を表現する
  「論理演算」で使用する小文字の「pやq」などの事を「論理変数」と言います。
    「命題p」「命題q」、
    「条件p」「条件q」、「条件p(x)」「条件q(x)」
    (「命題」「条件(命題)」に付いては後述)
  と記述したとき「pやq」を「論理変数pやq」と言います。
  「論理変数pやq」は「bool(真偽)」のどちらかを表現する為の「変数」で、
  別名「命題変数、bool変数」とも言われています。


大文字と小文字の違い「Pとp」「Qとq」
「論理演算」で使用する「大文字のPやQ」は「集合」を指す場合が多いです。
その為、
  「pの集合P」「qの集合Q」、
  「命題P」「命題Q」、「条件P」「条件Q」
  (「命題」「条件命題」に付いては後述)
のように「大文字と小文字」を使い分ける事があります。
しかし実際は、
  「条件p(x)」と「条件P(x)」と「集合P(x)」は実質同じ意味として扱います。
  (後述『「条件命題p(x)」と「集合P(x)」の区別(真理集合とは…)』にて説明)
その為、
「論理変数」全てを「集合」である無しに関係無く、
「集合」との区別無く「小文字のpやq」で記述する事があります。
逆に全てを「集合」との区別無く「大文字のPやQ」で記述する事もあります。


「命題」「真の命題」「偽の命題」とは
「論理演算」は必ず「真偽」のどちらかを判断して結果を返(出力)します。
必ず「真偽」の一方に確定する「文章や言葉や式」の事を「命題」と言います。
「真と偽のどちらとも取れるグレーな文章や式」は「命題でない」と言います。
  「命題」の答えは必ず「真」か「偽」です。

「真の命題」
基準(主張)が常に「真」と確定した「命題」を「真の命題」と言います。
  
    「命題pが真」=「命題(¬p)が偽」
  「命題pが真」である事が基準(主張)となる。

「偽の命題」
基準(主張)が常に「偽」と確定した「命題」を「偽の命題」と言います。
  
    「命題pが偽」=「命題(¬p)が真」
  「命題pが偽」である事が基準(主張)となる。

「命題でない」
「真偽」の判断が付かない物は「命題」にはなりません。
  

「真の命題」「偽の命題」は「命題」と省略して書く
殆どの場合「真の命題」「偽の命題」は「命題」と省略されます。
その場合「真偽」どちら基準(主張)の「命題」かは自分で見て判断します。
(判断の仕方は「反例」を調べる方法で行います。
詳しくは「反例を1つ以上挙げる方法」にて後述します。)
  「論理演算」を使用した例
  
  上記「命題p」「命題q」「命題s」「命題r」は全て「真の命題」です。
  それぞれの「命題」が以下のような「真」である事が確定しています。
    「真の命題p」=「この動物はオスである」
    「真の命題q」=「この動物は猫である」
    「真の命題r」=「p ∧ q」なので、
       「この動物はオス猫である」「この動物はオス かつ 猫である」
    「真の命題s」=「p ∨ q」なので、
       「この動物は オス か 猫 か オス猫 である」
  となります。
  「命題p」「命題q」のような
    「単純に真である事が確定している命題」を「単純命題」と呼びます。
  「命題r」「命題s」のような
    「複合的な演算で真や偽である事が確定している命題」を「複合命題」と呼びます。
  これらについては後述します。



「否定¬」について
「命題p」の「否定」について
  「否定」は「¬」や「!」や「 」で表現出来ます。
    「¬p」「!p」「
  どれを使っても意味は同じです。
  「¬¬p」のような「否定¬の否定¬」は「敵の敵は味方」のようなイメージで、
  「真の否定¬の否定¬は真」「偽の否定¬の否定¬は偽」となります。
「p」が「真」であれば、
「¬p」は「偽」、「!!p」は「真」、「!¬」は「偽」となります。
  「〜です」を「否定¬」すると「〜ではない」となります。
  命題p「オスです」を「否定¬」すると、
  命題pの否定「オスではない」となります。
  (「オスではない」⇔「メスです」、「メスではない」⇔「オスです」
  のような関係なので、「メスです」とも言えます)

「p and q」「p or q」の「否定」(ドモルガンの法則)
  「ドモルガンの法則」の
「!(p & q)」=「!p or !q」
「!(p or q)」=「 !p & !q」
  により、
「p & q」の「否定¬」は「!(p & q)」か「!p or !q」
「p or q」の「否定¬」は「!(p or q)」か「 !p & !q」
  のように解釈できます。

「命題」の「否定」でよく使われる形
  以下の「否定」の形は非常によく登場しますので知っておくと良いでしょう。
  「x=3」を「否定¬」すると「x≠3」(x≦2または4≦x)
  「x<3」を「否定¬」すると「3≦x」
  「有理数」を「否定¬」すると「無理数」
  「偶数」を「否定¬」すると「有理数」

「否定¬」は後述する「背理法」でも頻繁に使用されます。
しっかり覚えておきましょう。



「条件、条件命題」「命題関数 述語 性質」


「条件、条件命題」と「命題関数」とは(「事柄(内容)」と「変数x」)
「命題関数」とは(変数x)
  「命題」には「変数」を持たせる事が出来ます。
  「変数x」などの「変数」を持った「命題」の事を「命題関数」と言います。
命題p=「私は人間です」
命題関数p(x)=「xは人間です」
命題関数p( xは人間です )
(更にxを省略して「命題関数p( 人間です )」とも記述出来ます)
  「命題関数p(x)」の「pとx」の関係
「p(x)」の事柄(内容)が「p=〜は人間です」と決まると
  「人間です( x )」となり、
  「xは人間です」という「命題関数」と言える。
  「p(x)」は「変数x」が決まらないと「命題関数p(x)」と言える。
「p(x)」の事柄(内容)が「p=人間です」「変数x=私」と決まると、
  「人間です( 私 )」となり、
  「私は人間です」という「命題」と言える。
  「p(x)」は「p」と「変数x」が決まると「命題p」と言える。
  これらは「主語」が「変数x」となっています。
  「命題関数」は
    持っている「変数」の値や状態が決定すると
    「真偽」が確定し、「命題」となります。
    持っている「変数」の値や状態が決定して
    「真偽」が確定しない限り、「命題」にはなりません。
  そして、
    「命題関数p(x)」は「変数x」の値や状態により「真偽」の判定が変わります。
  とした時、
  「命題関数p(x)」の事を
  「条件命題p(x)」や「条件p(x)」や「条件p」とも呼びます。
「p(x)」の「pやx」の「内容」の事を「事柄」と言う事があります。

「条件、条件命題」とは「命題関数」の事である
    命題関数p(x)=「xは人間です」
  とした時、この「変数x」の「条件」が確定すれば
  「命題関数p(x)」は「命題」となり「真偽」の一方が返って来ます。
  この事から普段は、
  「命題関数」は別名「条件、条件命題」と呼ばれ、以下のように記述します。
条件p(x)=「xは人間です」
条件p( xは人間です )
(更にxを省略して「条件p( 人間です )」とも記述出来ます)
  「条件p(x)」は「変数x(主語)」の指す先(の条件)により「真偽」が変わります。
  「条件、条件命題」の例
  条件p( xは人間です )
の「変数x」が決まれば「事柄p(x)」の「真偽」が決定し「命題p」となります。
「変数x」が「私」を指せば「真の命題」となります。
  「p( 私は人間です )」は「真の命題」
「変数x」が「猫」を指せば「偽の命題」となります。
  「p( 猫は人間です )」は「偽の命題」
このように「変数x」の「条件」で「真偽」が決まるので「条件p(x)」と言います。

「条件命題」を「条件」と省略して書く
殆どの場合「条件命題」は「条件」と省略されます。
「(真偽が確定していない)条件」と「(真偽が確定している)命題」は
以下のような組み合わせで使用される事が多いです。
  「条件」と「命題」を使用した例
  
  上記「命題r」は「xはオス かつ xは猫 である」という「真の命題」です。
  「変数x」が入っているなら「命題r」は「条件」じゃないの?
  と感じてしまう人は以下のように考えてみて下さい。
    命題r『(xはオスが)「真」 かつ (xは猫が)「真」 である』とき「真」である
    命題r『 (条件pが)「真」 かつ (条件qが)「真」である』とき「真」である
  つまり「命題r」とは『「pが真」 かつ 「qが真」は「真」』と確定(主張)した
  「真の命題」となります。
例えば…
条件「xは猫である」は「xが指す先」により「真偽」の変わる「条件」ですが、
命題「(xは猫である)である」や命題「(xは猫である)は真」とは
条件「xはオスである」を受け取り「真」と確定させた「真の命題」です。
「真の命題r」は「条件pと条件q」の「真偽」の状態により
  「真の命題r」が「肯定されて真」、「否定されて偽」となるかが決まります。
  (「命題r」が「真の命題」と確定している為、
  「命題の肯定と否定」が成り立ち「真理値表」に沿った結果となります。)

「条件」とは「命題関数 述語 性質」の事である
  「条件」の事を「条件命題」と呼んだり「命題関数」と呼んだりしますが、
  他にも「述語」や「性質」などと呼ぶ事があります。
  条件p(x)=「xは人間です」
  条件p( xは人間です )
上記「xは人間です」の事を
  「条件」又は「xに関する条件」と呼びます。
  「述語」又は「xに関する述語」と呼びます。
  「性質」又は「xに関する性質」と呼びます。
  このような「条件」についての考え方の事を「述語論理」と言います。
  「条件p(x)」の「pとx」の関係性は
「p(x)」=「人間です(x)」=「xは人間です」
ですから
  「xは」は「主語」
  「xは人間です」や「〜は人間です」は「述語」
と呼ぶ事が出来ます。
「述語論理」では「条件」の事を「述語」と呼び記述します。



「命題」と「条件、条件命題」と「集合」


「命題と条件命題」の考え方
  「条件p(x)」は「変数x」の値や状態(条件)が定まる事により
  「真偽」が決まり「命題p」となります。
これは
  「変数x」の「条件」によって、
  返す「真偽」が変わる「変数xを含んだ文や論理演算式」
とも言えます。
「命題」と「条件」の幾つかの例を挙げておきます。

「変数を持たない」時(「命題p」など)(0項述語)
「変数」がない場合は必ず「命題」となります。(「条件命題」にはなりません)
「変数の数が0」なので「0項述語」などと呼ぶ事ができ、
「0項述語」は(「条件、述語」が「0」なので)「命題」と言えます。
  命題s=「私は 猫人間 である」
  
これら「命題s」は全て同じ意味。常に「真1」を返します。
(「偽の命題」の場合は常に「偽0」を返します)

「変数を1つ」持つ時(「条件p」や「条件p(x)」など)(1項述語)
「条件命題」の場合には必ず「変数」が存在する形となります。
「変数の数が1」なので「1項述語」などと呼ぶ事ができ、
「1項述語」の「条件、述語」と言えます。
  条件r(x)=「xは猫人間である」
  条件r=猫人間である
  条件r(xは猫人間である)
  条件r( 猫人間である )
  (上記のように「条件」と明示すれば「変数x」を省略して記述もできます。)

下記「条件r」は両方とも同じ意味です。
  
  「変数x」の状態により「条件r」の「真偽」が決まります。
    「変数x」が「猫人間」の時「条件r(x)」は「真1」を返す
    「変数x」が「猫人間」でない時「条件r(x)」は「偽0」を返す

「条件p( 猫である )」「条件q( 人間である )」「命題s=p∧q」
  だと以下のイメージです。
  
「変数x」の状況で「真偽」が確定した「条件p、条件q」により、
既に「真」と確定している「真の命題s」が「否定¬」されて「偽」となる「条件」
が上記「真理値表」により分かると思います。
  「条件pが 真1(猫である)」、「条件qが 真1(人間である)」の時、
    『「命題s」の「p∧q(猫人間である)」は「真1」』
  「条件pが 真1(猫である)」、「条件qが 偽0(人間でない)」の時、
    『「命題s」の「p∧q(猫人間である)」は「否定¬」され「偽0」』
  「条件pが 偽0(猫でない)」、「条件qが 真1(人間である)」の時、
    『「命題s」の「p∧q(猫人間である)」は「否定¬」され「偽0」』
  「条件pが 偽0(猫でない)」、「条件qが 偽0(人間でない)」の時、
    『「命題s」の「p∧q(猫人間である)」は「否定¬」され「偽0」』
「条件命題」は以下のような記述も可能です。
  条件p(x)=「xは6の倍数である」
この「条件p(x)」は
  条件p(6)=「真1」
  条件p(7)=「偽0」

「変数を2つ」持つ時(「条件p(x, y)」など)(2項述語)
「条件命題」では「変数を2つ」以上持つ事もあります。
「変数の数が2」の場合「2項述語」などと呼ぶ事ができ、
「2項述語」の「条件、述語」と言えます。
  条件p(x, y)=「x+y=3である」
この「条件p(x, y)」は
  p(1, 2)=「真1」
  p(2, 2)=「偽0」


「条件命題p(x)」と「集合P(x)」の区別
  「条件p(x)」と「条件P(x)」と「集合P(x)」は実質同じ意味です。
  「変数x」を省略した「条件p」と「条件P」と「集合P」も実質同じ意味です。
「pPのアルファベット」は「大文字と小文字」どちらを使っても良いです。
例えば「変数x」を「猫」とした場合、
  「猫という1要素」とみて「条件p」
  「猫で構成された集合Pの範囲」とみて「条件P」
言語の曖昧さの為どちらも同じ意味となります。
もし無理矢理に意味に近づけると以下のようなイメージでしょうか、
  
  「条件p(x)」とは「変数xに関する条件」の事
  「条件P(x)」とは「変数xに関する条件の集合範囲」の事
  「集合P(x)」での「変数xは集合範囲(値の制限)」の事
どれも実質同じ意味ですので、
「条件p(x)」や「条件P(x)」のどちらを使って記述しても問題ありません。
「条件、述語」を書く時に普段は「条件p(x) や 条件p」のように書き、
「集合」である事を意識したい時だけ「条件P(x) や 条件P」と好みで書く人もいます。
(「命題」でも「命題p」と「命題P」で同じ扱いが可能です)


「真理集合」とは…(「条件P(x)」と「集合」の記述)
「条件P(x)」の「変数x」を「集合範囲」と見ると
以下のように「真理集合」を説明出来ます。
「真理集合」はその名の通り「(真理)間違いのない」「真」となる集合です。
  「集合P(x) = {x | xは6の倍数}」である時、
  「{6, 12, 18, 24 , …}」の「集合範囲」を「真理集合」と呼びます。
この時、
  「xは6の倍数」(集合範囲)の事を「xに関する条件」と言う事が出来ます。
「条件、述語」は「集合」と同じように記述できるので、
  「条件P(x) = {x | xは6の倍数}」である時、
  「条件P」である「{6, 12, 18, 24 , …}」は「真理集合」と言えます。
のように記述する事が可能です。
  「条件P(x)」の「真理集合」と言った時、
  「条件P」が「真」となる「要素の集合」を指します。


「命題」「条件」「集合」の表記の曖昧さについて
  「命題」は「命題p」「命題P」
  「条件」は「条件p」「条件P」「条件p(x)」「条件P(x)」
  「集合」は「集合P」
の「命題」と「条件」において「pPqQなどのアルファベット」は、
「大文字と小文字」のどちらを使用しても間違いではない事を理解しておいて下さい。

「条件p(x)」は「変数x」を省略した表記が行えるので、
「命題」や「条件」を記述する場合は、
  「命題p」「条件p」
のように「命題」か「条件」かを常に明示する必要があります。
  P=「6の倍数である」、Pは「6の倍数である」を
「命題P」と見ると
  命題P「6の倍数である」
「条件P」と見ると
  条件P「6の倍数である」、条件P(x)「xは6の倍数である」
のように明示しないと「命題」とも「条件」とも解釈できてしまいます。



「単純命題(要素命題)」と「複合命題(合成命題)」


「論理記号」と「命題」で使う「品詞(助動詞 係助詞 接続詞 否定詞)」
「論理記号」は全6種類
「P ∧ Q」論理積and
「P ∨ Q」論理和or
「¬P」否定not
「P ⇒ Q」論理包含imp
「P ≠ Q」排他的論理和xor
「P ⇔ Q」同値xnor
  (「全ての、任意の(∀)」と「ある(∃)」は後述)
これに対して
「命題」として使用する主な「品詞」は以下の通りです。
「である」や「です」は「助動詞」(〜である)(〜です)
「は」は「係助詞」(〜は〜である)
「かつ(and)」は「接続詞」(〜かつ〜である)
「または(or)」は「接続詞」(〜または〜である)
「でない(not)」は「否定詞」(〜でない)
「ならば(⇒)」は「接続詞」(〜ならば〜である)
(「違っていれば(xor)」と「同じならば(xnor)」は対応する品詞がありません)


「単純命題(要素命題)」とは(「論理演算」を含まない「命題」)
「命題」が「真の命題」であり中身が
「論理演算」を含まない(それ以上分けられない)「文章や式」であれば、
それを「単純命題(要素命題)」と呼びます。
「助動詞」の「〜である」を使った
  『猫である』『1+1=2です』
「係助詞」の「〜は〜である」を使った
  『猫は動物です』『1+1は2です』
これらは全て「単純命題(要素命題)」です。
  「単純命題」は「論理演算」を含まない
  常に「真」と確定した「命題」と言えます。
  
  「単純命題」の「真の命題r」は常に「真」と確定されています。
  「正しいと確定した真の命題r」が受け取る「条件p」の「真偽」により
  「肯定され正しい真」なのか「否定され間違っている偽」なのかで分かれます。
    「条件p」が「偽」の場合は、
    「真の命題r」の「pである」が「否定」され「偽」となります。
  それら「場合分け」を表にしたのが「真理値表」です。


「複合命題(合成命題)」とは(「論理演算」を含む「命題」)
「命題」の中身が「論理記号」に置き換え出来る文章や「論理記号」を使用した
「接続詞∧∨⇒」や「否定詞¬」などを使った「文章や論理演算」であれば、
それを「複合命題(合成命題)」と呼びます。
「接続詞」(and)「〜かつ〜である」を使った
  『オス かつ 猫である』『(10以上 ∧ 20以下)です』
「接続詞」(or)「〜または〜である」を使った
  『犬 または 猫である』『犬である ∨ 猫である』
「否定詞」(not)「〜でない」を使った
  『犬でない』『¬(犬である)』
「接続詞」(⇒)「〜ならば〜である」を使った
  『猫 ならば 動物である』『猫である ⇒ 動物である』
これらは全て「複合命題(合成命題)」です。
  「複合命題」は「かつ∧」「または∨」「ならば⇒」「でない¬」を含む
  「真か偽」の確定した「命題」と言えます。
  

「複合命題」(「論理演算」を含む「命題」)の種類の中で最も頻繁に使われるのが
「(⇒)論理包含imp」を使った「複合命題」である「推論の命題」です。
次から「推論の命題」について学んで行きます。



「推論の命題⇒」の概要


「複合命題」の中で「(⇒)論理包含imp」の「論理演算」を使用した「命題」の事を、
ここでは「推論の命題」と呼びます。
後々説明しますが「推論の命題⇒」は「理論の構築」の為に欠かせない考え方で、
非常によく使われる事になる「命題」の形です。
「⇒を使った命題」を「推論の命題⇒」として今後説明して行きますが、
「推論の命題」は本来は単に「命題」と呼ばれています。

「推論の命題⇒」(〜ならば〜である)
  「p ⇒ q」(pならばqである)
  例:「猫娘 ならば 妖怪 である」(推論の命題r「 p⇒q」)
  
  「p:私は猫娘であると仮定」すると
  「q:私は妖怪であると結論」出来る
このような推論の命題「p ⇒ q」の時、
  「p」を「仮定(前提、前件)」、「q」を「結論(帰結、後件)」
と言います。
  「p(仮定)」を元に(使って)「q(結論)」へと導く
  「p(仮定)」がある事により「q(結論)」が出る
のような「仮定 ⇒ 結論」の関係となります。

そして、
推論の命題「p ⇒ q」で使用される「pとq」は
通常は「条件p」と「条件q 」として考える事となる為、
以下のようなイメージとなります。
  



「ならば」や「p ⇒ q」とは「p or !q」や「!(p&!q)」のことである(重要)
推論の命題「p ⇒ q」とは「!p or q」や「!(p&!q)」を省略した記述です。
  「p ⇒ q」=「!p or q」=「!(p&!q)」
「p⇒q」「!p or q」「!(p&!q)」が互いに同じ結果となる事が
下記「真理値表」で見比べると分かると思います。
  
「ならば」について…(重要)
  推論の命題「p ⇒ q」は通常「p ならば q である」と日本語に訳されます。
  この「ならば」は私たちが普段使っている「ならば」いう言葉とは違う意味です。
  単純に、「!p or q」や「!(p and !q)」という
  特殊な「真理値表」の状態をうまく日本語で表現出来ない為に
  「ならば」と言う言葉や「⇒」という記号をしかたなくあてがう事によって、
  とりあえず表現しているだけです。
  「⇒」を「ならば」の言葉通りに受け止めると混乱するので注意して下さい。


「p ⇒ q」が「真」の時、「P ⊆ Q」となる(重要)
「P ⇒ Q」(PならばQである)は別名「論理包含」と呼ばれています。
「P ⇒ Q」が「真」の時は「P ⊆ Q」の関係であると言えます。
「P ⇒ Q」が「真」である場合は必ずPの範囲よりQの範囲が大きくなり、
QがPを包んだ状態となる事が約束されています。
  
「P ⇒ Q」が「真」の時は
常に「P」より「Q」の方が大きくなる(又は同じ大きさとなる)為、
  「P」を「サブセット」(小さい範囲を指す)
  「Q」を「スーパーセット」(大きい範囲を指す)
と呼びます。


「P ⇒ Q」が「真」の時、何故「P ⊆ Q」と言えるのかの証明
何故「PならばQである」とき、「P ⊆ Q」の状態となるのか証明します。
  まず前提として「P ⇒ Q」について以下の事が言えます。
  
この前提をしっかり踏まえた上で、
  以下のように説明出来ます。
  


「十分条件、必要条件、必要十分条件」(十分範囲、必要範囲)
「P ⇒ Q」が「真」であると「P ⊆ Q」の状態となります。
この時、
  「Qの為のPを十分条件」「Pの為のQを必要条件」、
  「PとQが同値(同じ大きさ)の場合PとQの両方を必要十分条件」
と呼びます。
これら「十分条件、必要条件、必要十分条件」について説明します。

「十分条件」と「必要条件」の「覚え方」
実際に使用した例は以下のようになります。
  
「Pで十分 ⇒ Q所属が必要」の形は必ず覚えて下さい。
  Q所属の為にはPでさえあれば「十分」
  PでさえあればQ所属には「十分」
  Pである為にはQ所属が「必要」
  Q所属している事がPには「必要」
などの各言い回しの時に状態をイメージしやすくなります。

「必要十分条件」
「必要十分条件」とは以下の状態の事を指します。
  「P ⇒ Qが真」であり「Q ⇒ Pが真」である。
  これは「(P ⊆ Q) and (P ⊇ Q)」となり「P = Q」となるので、
  「P範囲とQの範囲」はピッタリ同じという事になります。
「P全ての要素がQ全ての要素と同じである」時が「必要十分条件」です。
  
  「必要十分条件」状態の事をP ⇔ Q」と記述し
  「PとQは互いに同値である」と言います。

「十分条件、必要条件」の使用例
「P ⇒ Qが真」とは「P ⊆ Q」と同じです。
この時、
  「Pをサブセット(小さな範囲)」と言います。
  「Qをスーパーセット(大きな範囲)」と言います。
  「P」を「Q所属の十分条件」と言います。
  「Q所属」を「Pの必要条件」と言います。
よく間違えやすい例を出しておきます。
  
これを元に、
  
  蛇足ですが、「問題が5問、クリア条件が5問」や
  「問題が3問、クリア条件が3問」の場合「必要十分条件」です。



「推論の命題⇒」の考察


何故「P⇒Q」は理解しづらいのか?
「推論の命題P ⇒ Q」は最もよく使われる「論理記号」の形です。
にもかかわらず深く理解しようとすると混乱し悩まされやすいので
ここでは良くはまる2つの疑問について一度しっかりと考察しておこうと思います。

「P ⇒ Q」は「PならばQである」と読みます。
「ベン図」では
  
のような「エリア(範囲)」で表現されます。
「P ⇒ Q」は「notP or Q」の「条件」で判断できるので以下のようになります。
  

この時、以下の2つの疑問が湧くのです。
疑問1(「P ⇒ Q」のPが偽の時に真となるのが腑に落ちない)
  「P ⇒ Q」は「PならばQである」
  つまり「Pが成り立つ ならば Qも成り立つ」って意味なのに
  何で「Pが成り立たない」時の答えが全て「真」になるんだ?
  ついでに「Pが成り立たない」ときに「P ⊆ Q」となる理由もよく分からない。
  「Pが成り立ってQが成り立たない」時のみ答えが「偽」になるのは何故?
疑問2(「P ⇒ Q」を「P ⊃ Q」と記述するのが腑に落ちない)
  「P ⇒ Q」は「P ⊃ Q」とも記述できるみたいだけど、
    「P ⊆ Q」QはPの部分集合(Qの中にPが有る)
    「P ⊃ Q」PはQの部分集合(Pの中にQが有る)
  そして、
    「P ⇒ Q」が「真」の時「P ⊆ Q」(PはQに包まれる)の状態です。
  と学んだ。
  これを元にして考えた場合、「P ⊃ Q」の記述は「P ⊆ Q」の間違いではないか?


疑問を解決する為の前知識1(空集合の定理1、元ゲン)
「空集合Φ」と「元ゲン」についてです。今後の為に大切な知識です。
「P ⇒ Q」と「¬(P ⇒ Q)」
 「P ⇒ Q」と「¬(P ⇒ Q)」の違いは以下のようになります。 
  

「空集合Φのルール1」
  

「空集合Φのルール1−1」
  

「空集合Φのルール1−2」
  

「元ゲン」とは
  


疑問を解決する為の前知識2(空集合の定理2、べき集合)
「空集合Φ」と「べき集合」「部分集合⊆」についてです。今後の為に大切な知識です。
「空集合Φのルール2」
  

「空集合Φのルール2」の補足
  

「集合」と「{}」
  

「べき集合(冪集合)、集合族」(「べき集合」と「部分集合⊆」の違い)
  「べき集合」は「冪集合」や「巾集合」や「集合族」などと記述されます。
  「集合」とは「要素のみで集めた集合」を扱いました。
  「べき集合」は「集合のみで集めた集合」を扱います。
    「べき集合」は
    「配下にある元ゲン」を元にして「作成可能な集合」を作った場合の
    「様々な集合」の「組み合わせパターン」を並べた集合です。
  
  「べき集合」や「部分集合⊆」は「配下にある元ゲン」を1度集めた後、
  その「集合」内の直下1階層の中に「ありえる集合の組み合わせ」を
  全て書き出した集合と言う事が出来ます。

「空集合Φ」と「べき集合」の濃度
  

「空集合Φのルール2−1」
  

「空集合Φのルール2−2」
  


疑問1の考察(「P ⇒ Q」のPが偽の時に真となるのが腑に落ちない)
疑問について、
「P ⇒ Q」で起こりうる条件4パターン個々の考察をする事で答えとしたいと思います。
  
「Pが真1」「Qが真1」「P ⇒ Qが真1」の考察
  
  『真「P猫娘」であり ⇒ 真「Q猫人間」である』
    「P ⇒ Qは真」 猫娘 は 猫人間 だものね
    「P ⊆ Q」 猫人間 の集合に 猫娘 は含まれる

「Pが真1」「Qが偽0」「P ⇒ Qが偽0」の考察
  
  『真「P猫娘」であり ⇒ 偽「Q猫人間」でない』
    「P ⇒ Qは偽」 猫人間 でない 猫娘 は存在しない!
    「P ⊆ Qとならない」 猫人間 の集合に 含まれない 猫娘 は存在しない

「Pが偽0」「Qが真1」「P ⇒ Qが真1」の考察
  
  『偽「P猫娘」でない ⇒ 真「Q猫人間」である』
    「P ⇒ Qは真」 猫人間 は 猫娘 の他にも(猫男とか…)いるからね
    「P ⊆ Q」 それでも 猫人間 の集合には 猫娘 は含まれる

「Pが偽0」「Qが偽0」「P ⇒ Qが真1」の考察
  
  偽「P猫娘」でない ⇒ 偽「Q猫人間」でない
    「P ⇒ Qは真」 猫娘が含まれる猫人間 の他に 人や猫や犬 が存在するからね
    「P ⊆ Q」 それでも 猫人間 の集合には 猫娘 は含まれる
以上の事から「P ⇒ Q」と「P ⊆ Q」は常に「同値である(真偽が同じ)」と言える。


疑問2の考察(「P ⇒ Q」を「P ⊃ Q」と記述するのが腑に落ちない)
これは、このような記述に至った経緯が「ウィキペディア」に書いてありました。
「Wiki:論理包含」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%8C%85%E5%90%AB
この「Wiki:論理包含」を元にして経緯を簡単に書くと、
最初に数学者「ジュゼッペ・ペアノ」さんが
「論理包含imp」を「P ⊃ Q」と記述して発表しました。
この記号「⊃」は、
「部分集合⊆⊂」の「逆」や「真部分集合⊊⊂」の「逆」で使われる事のある「⊃」と
見た目も記号も同じなのですが、
それとは直接の関係が無い物として記号「⊃」を「論理包含imp」の記号として使いました。
その後、別の数学者「アレン・ハイティング」さんが
「論理包含imp」を「P → Q」と記述するようになり
現在、「P ⇒ Q」や「P → Q」と「論理包含imp」が記述されるようになりました。
って事だそうで更にまとめると、
「論理包含imp」では「P ⇒ Q」を「P ⊃ Q」と書いても表記的には正しいのですが、
それは「集合」で使う「P ⊃ Q」とは違う物として解釈しなさい
という事です。(ややこしい!)



「推論の命題⇒」の「逆 裏 対偶」


「推論の命題⇒」の「逆 裏 対偶」
「推論の命題P ⇒ Q」の「真偽」が決まった状態を「命題」と言います。
「推論の命題P ⇒ Q」
『P「猫娘」⇒ Q「猫人間」』
(猫娘 ならば 猫人間である)(猫娘の全てが猫人間に所属し含まれる)
  「P ⇒ Qが真」ならば「P ⊆ Qは真」
  
と「対偶」と言われる「推論の命題の対偶¬Q ⇒ ¬P」
『¬Q「猫人間でない」⇒ ¬P「猫娘でない」』
(猫人間でない ならば 猫娘でない)(猫人間に全て所属し含まれないなら猫娘ではない)
  「¬Q ⇒ ¬Pが真」ならば「P ⊆ Qは真」
  
の「真偽」は常に一致しますので互いに変換する(言い換える)事が可能です。
(一致する理由は後で説明します。)
例えば、
「推論の命題P ⇒ Q」を「真の命題」、「同値P ⇔ Q」では無いと確定した時、
「①命題」「②命題の逆」「③命題の裏」「④命題の対偶」は下図のようになります。
  
  「命題 逆 裏 対偶」それぞれの「真偽」の組合せは
  必ず上記4パターン中のどれかに収まります。  
例として「P私は猫娘です(6の倍数)」、「Q私は猫人間です(3の倍数)」である時、
以下の「①命題 と ④対偶」「 ②逆 と ③裏 」はそれぞれ同じ事を言っています。
①命題「P ⇒ Q」(④対偶と同じ)
    『「P猫娘(6の倍数)」 ならば 「Q猫人間(3の倍数)」である』
  「P猫娘(6の倍数)」は「Q猫人間(3の倍数)」に含まれますので
  これは「真の命題」です。
②逆「Q ⇒ P」(③裏と同じ)
    『「Q猫人間(3の倍数)」 ならば 「P猫娘(6の倍数)」である』
  「Q猫人間(3の倍数)」は「P猫娘(6の倍数)」以外にも存在しますので、
  これは「偽の命題」です。
③裏「!P ⇒ !Q」(②逆と同じ)
    『「P猫娘(6の倍数)でない」 ならば 「Q猫人間(3の倍数)ではない」』
  「P猫娘(6の倍数)」以外にも「Q猫人間(3の倍数)」は存在しますので、
  これは「偽の命題」です。
④対偶「!Q ⇒ !P」(①命題と同じ)
    『「Q猫人間(3の倍数)でない」 ならば 「P猫娘(6の倍数)ではない」』
  「Q猫人間(3の倍数)」でない範囲は「P猫娘(6の倍数)」でない範囲に含まれるので
  これは「真の命題」です。


「命題の逆裏対偶」と「論理演算と集合」の関係
何故、
「①命題 と ④対偶」は互いに変換(言い換える)事が出来る
「②逆 と ③裏」は互いに変換(言い換える)事が出来る
のでしょうか?
それは、
「①命題」と「④対偶」の「真偽」は全てにおいて常に同じ「同値⇔」となる
「②逆」と「③裏」の「真偽」は全てにおいて常に同じ「同値⇔」となる
となる為です。
  
  「!P or Q」で「①命題」と「④対偶」の「条件の真偽」が求まります。
  「P or !Q」で「②逆」と「③裏」の「条件の真偽」が求まります。

「①命題P ⇒ Q」と「④対偶¬Q ⇒ ¬P」の関係(!P or Q)
  「!P or Q」は以下の「条件」により「真偽」が変化します。
  
  「!P or Q」を使えば比較的楽に
  「①命題P ⇒ Q」と「④対偶¬Q ⇒ ¬P」を求める事が出来ます。
  「①命題 と ④対偶」の「条件の真偽」が一致する理由は下図に従った結果です。
  
  「①命題 と ④対偶」は「同値(必要十分条件)」なので常に「①命題 ⇔ ④対偶」です。

「②逆Q ⇒ P」と「③裏¬P ⇒ ¬Q」の関係(P or !Q)
  「P or !Q」の「真偽」は以下のように求めます。
  
  「P or !Q」を使えば比較的楽に
  「②逆Q ⇒ P」と「③裏¬P ⇒ ¬Q」を求める事が出来ます。
  「②逆 と ③裏」の「条件の真偽」が一致する理由は下図に従った結果です。
  
  「②逆 と ③裏」は「同値(必要十分条件)」なので常に「②逆 ⇔ ③裏」です。



「推論の命題⇒」の「証明」の為の前知識


「証明」とは(反証について)
「推論の命題⇒」は
「仮定、前提」 ⇒ 「結論、帰結」
のような考え方であると学びました。
「P」を「仮定、前提」
「Q」を「結論、帰結」
とした時、
  「P ⇒ Q」が「真」であると「証明」されれば
  「P ⇒ Q」は「論理的に正しい」と「証明」された事になります。
逆に
  「P ⇒ Q」が「偽」であると「証明」されれば
  「P ⇒ Q」は「論理的に正しくない」と「証明」された事になります。
  「命題、主張」が「正しく無い」と「証明」される事を「反証」と言います。
例えば、
「猫娘 ⇒ 妖怪」が「真」と「証明」されれば
  「猫娘」であれば必ず「妖怪」である事が「理論的に証明」されます。
「猫娘 ⇒ 俊敏」が「偽」と「反証」されれば
  「猫娘」であっても「俊敏」と限らない事が「理論的に証明」されます。
(混乱するのでここでは学びませんが「証明も反証もできない」
つまり「証明出来ない事が証明」された「ゲーデルの不完全性定理」と言う物もあります)


「命題」の部分否定





「要素の偽」と「集合の偽」
  「要素の偽」
  要素a=1.5
  命題p「要素aは整数である」
「要素a」は整数ではない為、(「要素a ⇒ not整数」「要素a ⊆ not整数」)
命題pは「偽の命題」です。
「aは整数ではない」
「集合の偽」
×このままではだめ。これは「部分否定」という言葉を使って書き直す
  集合A={1, 2.5, 3, 4.5, 5}
  命題P「集合Aは整数である」
「少数」の要素「3.5や4.5」がある為、(「集合A ⇒ not整数」「集合A ⊆ not整数」)
命題Pは「偽の命題」です。
「集合Aは整数ではない」「集合Aの要素は整数とは限らない」
  「命題」が「要素か集合か」や「一部の要素か全ての要素か」とは関係無く、
  「命題」内に「一部でも偽」があれば「命題」は「偽の命題」となります。

  「偽の命題」が「1要素」を指している時…
  「要素 猫 = 俊敏でない」
  命題「この猫は俊敏です」が「偽」
これは
  「この猫 ⇒ not俊敏」…「この猫 ならば 俊敏ではない」
と言う事なので、
  「この猫は俊敏ではない」
  「偽の命題」が「集合や範囲」を指している時…
  「集合 猫 = {俊敏, 俊敏でない, 俊敏でない, 俊敏}」
  命題「これらの猫は俊敏です」が「偽」
これは
  「これらの猫 ⇒ not俊敏」…「これらの猫 ならば 俊敏ではない」
  「これらの猫 ⊆ not俊敏」…「これらの猫は俊敏でないに含まれる?」
  「これらの猫は俊敏でない」
  こ文章の解釈の違いの違いを認識しておいて下さい。
数学では「全てが成り立つ」事を「真」と言います。
「例外(成り立たない)」要素が1つ以上ある「真とは限らない状態」を
「偽」と言います。


反例とは
「偽」となる例を挙げる事を「反例を挙げる」といいます


「排中律」
    「A」か「notA」かのどちらかである
  という考え方が「排中律」です。
    「AとnotA」が「not(否定)」する事によってお互いを行き来する関係
  を「排中律」と言います。
  「排中律」の例
「x=3」を「否定¬」すると「x≠3」(x≦2または4≦x)
「x<3」を「否定¬」すると「3≦x」
「有理数」を「否定¬」すると「無理数」
「偶数」を「否定¬」すると「有理数」
「背理法」は「排中律」が成り立つ関係の物に対して有効です。








「矛盾」とは
  「何でも突き破る矛」かつ「何にも突き破れない盾」は可能?
このような「この"矛と盾"の二つは同時に成り立たない」「両立出来ない二つ」の事を
「矛盾」と言います。「つじつまが合わない」などとも言われます。
「矛盾」する物は必ず「二つのうちの両方か一方」に「偽」が有ります。
「矛盾」とは「二つの命題」の一方の「命題」を「真」とすると
もう一方の「命題」が必ず「偽」となる状態の事です。
  命題p「何でも突き破る矛」、命題q「何にも突き破れない盾」
  命題r「p かつ q」は「矛盾」
  (「pが真の時、qは真となれない」「qが真の時、pは真となれない」)
このような「両命題が同時に真になれない」状態を「矛盾」と言い、
  「A ∧ ¬A」(同じ物事に対する2つの事柄の結果が合わない事)
と定義されます。


「矛盾律」とは
「矛盾律」は「(p ∧ ¬p) ⇔ 偽」と定義されている。
これは「矛盾律」は「¬(p ∧ ¬p) ⇔ 真」という意味でもある。
「矛盾」である「(p かつ ¬p)」は常に両立しないので必ず「偽」となる。
これを「矛盾律」と言います。
(「矛盾律」は後述する「トートロジー」の一種)


  
背理法」は
  命題p「xである」を証明する為
  命題¬p「xでない」と仮定する
  命題¬p「xでない」に矛盾を探し、
  あれば「仮定が否定」されるになる
  よって
   命題p「xである」が「証明」される

猫は鳴かない→猫は鳴くに矛盾がない(鳴かない猫はいない)→猫は鳴かないが否定される

猫は鳴く→猫は鳴かないに矛盾がある(鳴かない猫がいる)→猫は鳴くが肯定される

猫は俊敏でない→猫は俊敏(俊敏でない猫がいる)→猫は俊敏でないが肯定される
猫は俊敏→猫は俊敏でない(俊敏な猫がいる)→猫は俊敏が肯定される










「は」の曖昧さに注意
「猫=動物」は×
(猫は動物だが、動物は猫では無い)
「猫=猫」は○
「猫⇒動物」は○
(猫は動物だが、動物は猫とは限らない)

この事から分かるように、
「猫は動物です」と言った時
「は」が「は=」の意味ではなく「ならば⇒」の意味で使用される事が多々あります。

「ならば⇒」は「=」、同値「⇔」(「A⇒B」かつ「B⇒A」)の状態も含むために
注意が必要です。?

「xは3である」は「x=3」と言う意味
「猫は動物である」は「猫⇒動物」と言う意味






「〜かつ〜である」

『(主語)〜は「〜かつ〜である」である』
と同じ?
「a∧b」は「(a∧b)⇒(a∧b)」と同じ?







「推論の命題⇒」の「証明」(反例と背理法)


「証明」の手順
「証明」の方法を見ていく前に「証明」の手順を理解しておきましょう。
「証明」の手順にはザックリとした「型(テンプレート)」があります。
なんとなくで良いのでこの手順に沿うようにすると「証明」が行えます。
手順1)「仮定、前提(既に分かっている内容を書き出す)
(「〜において、〜を仮定とする、〜を前提とする、〜である事から」など)
  問題から「仮定、前提」となる部分を探して書き出す。
  (問題を見て明らかに伝わり整理する必要のないと判断できる「仮定、前提」は
  省略して「証明」を行う場合もあります)
  「仮定、前提」から分かる状況があれば書き出す。
  文を数式に変換しておいた方が後々都合が良い場合は、
  数式に変換して書き加える。
手順2)「根拠、説明(「仮定、前提」から「結論」へ解説)
(「〜となる為、〜だから、〜により」)
  「仮定、前提」から「結論」が導き出される為の
  根拠となる説明「理由、計算式」などを書き出す。
手順3)「結論(証明する内容を書き出す)
(「よって〜である、結果〜となる」)
  「証明」したい内容が「結論」となります。
  「〜を証明しなさい」という問題の場合「〜」が「結論」となります。
但し「証明」書き方には決まりがあるわけではなく色々な方法が存在します。
論理的に説明されて結論に至れば良いので、書き方も解法も様々です。

「推論の命題⇒」の「証明」を実際に行うには主に
「反例を1つ以上挙げる方法」(「命題」が偽である事が「証明」される)
「間接証明法」(「背理法」や「対偶証明法」の総称の事)
  「P ⇒ Q」その物でなく「P ⇒ Qと同値となる別の命題の形」を利用して
  「証明」を行う方法です。「背理法」や「対偶証明法」の事を言います。
「背理法」(命題を否定した仮定に矛盾があれば命題が「証明」される)
「対偶証明法」(対偶の真偽を調べる)
「数学的帰納法」
の方法を使って行われます。




「反例を1つ以上挙げる方法」(「命題」が偽である事が「証明」される)
「命題」が「偽である(成り立たない)」例を挙げる事を「反例を挙げる」と言います。
「命題」に対して1つでも「反例」をあげる事ができれば、
「命題」は「偽」である事が「証明」された事になります。
  図入る


「反例を1つ以上挙げる方法」の例
例題1
  図入る
例題2
  図入る


「背理法」(命題を否定した仮定に矛盾があれば命題が「証明」される)
推論の命題「P ⇒ Q」を否定した「¬(P ⇒ Q)」と仮定した時、
それに矛盾があれば推論の命題「P ⇒ Q」が「真の命題」と「証明」されます。


矛盾とは…


「背理法」の為に必要な知識





「背理法」の例


「排中律」の原則の上に「背理法」は成り立つ
「排中律」とは「思考の三原則」と言われる物の1つで、
証明されていようがいまいが、
「命題は必ず真偽のどちらか」ですよって事。








「対偶証明法」











ここから先はまだ執筆中です。
2018年9月末くらいまでには書き上げたいと思っています。
ここから先の内容には結構間違いが含まれます。
書き上がるまでお待ち下さい。










「否定」についてのまとめ(推論命題「p⇒q」の否定)
推論命題「p ⇒ q」の「否定」(重要)
  「p ⇒ q」(p ならば q である)の「否定」
前述『「p ⇒ q」とは「p or !q」や「!(p&!q)」のことである(重要)』
により、
  「p ⇒ q」=「!p or q」=「!(p & !q)」
を前提として「p ⇒ q」を「¬否定」すると以下の式が導けます。
  「¬!(p & !q)」=「p & !q」
結果、
  「p ⇒ q」(p ならば q である)の「否定」は
  「p & !q」(p かつ q でない)
となります。
これらの「否定」の方法はこの後「背理法」を学ぶ際に必要となる知識です。


「a⇒a」「a」の考え方と否定
「猫である」「猫ならば猫である」
「a⇒a」「!a or a」を否定すると…
「¬(a⇒a)」つまり「a and !a」









「理論の構築」(「命題」や「 推論の命題⇒」の使い所)


「命題」や「推論命題⇒」は一般的に「理論の構築」の為に使用されます。
どのように使われているのかを見ていきます。

「命題 条件、述語 集合 推論の命題 否定」のまとめ
「命題、条件、述語」について学んだ事を一度まとめておきます。
「命題」とは(〜である)
  「命題」とは「主張」の事です。
  必ず「真偽」の一方に確定した主張「式や言葉」の事を「命題」と言います。
  「単純命題(要素命題)」とは
    「論理記号」が入らず必ず「真」と確定した「命題」です。
  「複合命題(合成命題)」とは
    「論理記号(論理演算)」が入り必ず「真偽」のどちらかに確定した「命題」です。

「条件、述語」とは
  単純に「真偽」で表現出来ない物や範囲は「変数x」などを使い表現されます。
  「変数x」の状態で「真偽」が変わる「式や言葉」を「条件、述語」と言います。
  「条件、述語」は「変数x」を受け取り解釈後「真偽」の片方を「出力」します。
  「条件、述語」は「条件命題、命題関数、性質」などとも呼ばれます。

「条件、述語」と「集合」
  「条件、述語」が示す「集合範囲」に「変数x」が入るかで「真偽」が変化します。
  これを「条件や述語」と言い、
    「真理集合」の範囲内に「変数x」があれば「真の命題」、
    「真理集合」の範囲外に「変数x」があれば「偽の命題」
  に変化します。

「推論の命題⇒」
  命題「p ⇒ q」(「pならばqである」)とは、
  「p ⇒ qは常に真である」という「命題」と言えます。
  (常に「真(〜である)」と判断できるので「(複合)命題」と言えます)
  「P ⇒ Q」が「真」である場合「P ⊆ Q」の状態であると言い換えられます。
    「P ⇒ Qが真(の命題)」⇔「P ⊆ Q」
      「P ⇒ Q」が「真(の命題)」とは、「P ⊆ Q」と同じ
      「P ⊆ Q」とは、「P ⇒ Q」が「真(の命題)」と同じ
  「P ⊆ Q」の状態とき、
    「PをQの十分条件」(QにはPで十分)
    「PをQの必要条件」(PにはQが必要)
  と言います。(「Pで十分 ⇒ Qが必要」)

「命題」「推論命題」の否定
  よく使われる否定の形は以下の通りとなります。
    「x=3」を「否定¬」すると「x≠3」(x≦2または4≦x)
    「x<3」を「否定¬」すると「3≦x」
    「有理数」を「否定¬」すると「無理数」
    「偶数」を「否定¬」すると「有理数」
  ドモルガンの法則…
    「¬(p&q)」=「¬p or ¬q」
    「¬(p or q)」=「¬p & ¬q」
  「P ⇒ Q」の否定…
    「¬(p ⇒ q)」=「p & ¬q」(pが成り立ち かつ qが成り立たたない)
    「¬(p ⇒ q)」=「¬p or q」(pが成り立たない もしくは qが成り立つ)
  「P ⊆ Q」の否定…
    「¬(P ⊆ Q)」とは「Qの範囲にPの範囲が全て含まれるとは限らない」状態


「命題」と「定義、定理、公式、補題、系、公理」の関係
数学で理論を構築する際に必要になる言葉です。
「命題」
  「命題」とは「主張」の事。
  「定義、定理、公式、補題、系、公理」は全て「命題」です。

「真の命題」
  「真の命題」は「真」である事が明らかな「命題」
    「真の命題」とは「真」である事が「証明」された「主張」

「定義」
  「証明」の必要がない「真と約束された命題」
    「約束事」の事
  (「Youtube登録者10万人以上」を「トップユーチューバー」と「定義」すると
  「10万人以上の登録者」の場合、命題「トップユーチューバー」は「真」となる)

「定理」「公式」
  正しく「証明」された「真の命題」の事を「定理、公式」と言います。
  「証明された真の命題」が文の状態のであればそれは全て「定理」です。
  「定理」が「数式」の形ならばそれは「公式」となります。
    「定理」とは「証明済みの真の命題の文(や数式)」
    「公式」とは「証明済みの真の命題の数式」
  「1+1=2」のような単なる事実を述べた「数式」は、
  「証明」されていても「公式」と言わず「定理」と言います。
  「ピタゴラス(三平方)の定理」などはまさにそれです。
  「定理の数式」を元に扱い易く式変形した物が「公式」の「数式」となります。
  どの程度「定理の数式」を式変形すれば「公式」となるのかの線引きは曖昧です。

「補題」
  「真の命題」である「定理や公式」が「証明」される為には、
  必ず他の補助的な「定理や公式」が必要となります。
  これを「補題」と言います。
    「補題」とは「定理や公式」の「証明」の為に必要な補助的な「定理や公式」

「系」
  「定理や公式」を根拠に作った別の「証明済み真の命題」の事を「系」と言います。
    「系」とは「定理や公式」から作成した「定理や公式」

「公理」(公理系)
  「公理」は「根本命題」とも呼ばれ、
  理論の一番基礎となる「定義」として「真と仮定、前提とした命題」の事です。
  「定義」としての「仮定、前提」なので「証明」される必要がありません。
  「数学的な論理組み立て」の議論は以下のように行われます。
    まず始めに「Aと定義(仮定)」すると「定理Bが証明(結論付ける事が)出来ます」
    つぎに「Cと定義(仮定)」すると「定理Dが証明(結論付ける事が)出来ます」
    更に「証明された定義D」によって「定理E」が証明されます。
    「定理Bと定理E」により「定理F」が証明されます。
  この中で、
    議論の一番最初の「基礎、前提、スタート」となる「定義」、
    「AとC」の個々が「公理」と言われます。
    議論の為に必要となる(使用した)
    「AやC」などの「公理」を集まりの事を「公理系」と言います。
  
  自分で定めたどのような「定義」でも「公理」とする事が出来る為、
  「公理」が正しく無い場合、「理論」により導き出した「定理」は破綻します。
  「公理」と言う「証明」する必要のない「真と仮定、前提とした命題」があり、
  その「命題」群つまり「公理系」を元にして話を進めるのが
  「議論、理論」の基本となるのです。
  (これは例えばある「真」となる「命題」があるとき、
  その「命題」を「証明」する必要のない「公理」として話を進めるかどうかは
  その「命題」を出す人が好きに決めて良いと言う事になります。
  つまり、結論の破綻を恐れなければ間違っている主張(命題)でも「公理」として
  「真の命題」とする事が出来ると言う事になります。
  そして「公理」が誤りである場合、
  その上に組み立てたどのような「議論、理論」も破綻する事になります。)


「論理」と「理論」の違い(論理的、理論体系)
「論理」とは…
  「論理」とは「議論や推論」を正しいプロセスで(矛盾無く)すすめる事です。
  「仮定、前提」から「結論」に至るプロセスが正しい状態の事を
  「論理的に正しい」と表現する事が出来ます。
  「議論や推論の筋が通っているか」「論理的に正しいか」が焦点となる為、
  「結論の真偽とは関係ない」事に注意して下さい。
  「仮定、前提」から正しく「結論」へ導くのが「論理」です。
  (「仮定、前提」から「論」ずる事により「理」(理屈、結論)を得る為「論理」)
  「仮定、前提」から「結論」に至るまでのプロセスを正しく説明する事を
「論理立てる」と言います。
  また、「論理立てる」は「構築した説明を立てる(矛盾無く成立させる)」事を指し、
  「論理」とは「構築した説明その物」を指す為、
「論理を構築する」のような言い方はしません。
「論理体系」
  「論理体系」には以下の二つの意味があります。
    「三段論法」などの「論理」で使えるプロセス全てを「論理体系」と言う。
    「仮定、前提」から「結論」に至ったそのプロセス関係全てを「論理体系」と言う。
「理論」とは…
  「理論が正しく構築されている」とは、
  「既に証明された公式や定理」が「仮定、前提」となっている状態の事を指し
  「理論的に正しい」と表現する事ができます。
  「仮定、前提」となるべき物が「理論」です。
  (既にある「理屈(公式や定理)」である「理」を元に「論」ずる為「理論」)
  その為「仮定、前提」となる「理論」は常に「正しい理論」である必要があります。
  また、「理論」は既に「仮定、前提」として立っている物なので
「理論立てる」のような言い方はしません。
  これまで「論理の構築」を元に論ずる事により
  様々な新しい「正しい理論(公式や定理)」が作られてきました。
  これら「正しい理論(公式や定理)」の集まり全体を「理論体系」と言います。
「理論の構築、理論の構築」  
  何もない所から「理論」は組み立てられません。
  「理論体系」の最初には必ず「公理」が存在します。
  そこから無矛盾な(矛盾のない)状態で「理論」を組み立てます。
    「公理系」から「理論を組み立てる」事を
    「理論の構築」又は「理論体系の構築」と言います。
    「理論の構築」に至ったそのプロセス関係全ての事を「理論体系」と言います。
「理論体系」
  「理論体系」には以下の二つの意味があります。
    「正しい理論(公式や定理)」の集まり全体を「理論体系」と言う。
    「理論の構築」に至ったそのプロセス関連全ての事を「理論体系」と言う。


「理論の構築」の方法




「理論の構築」すると「推論」が「現実の写像」
「現実を抽象化」すると「数学」となります。
「リンゴ」と「バナナ」はそもそも違う物でが、「抽象化」する事により
「リンゴ2個」と「ミカン3個」は足せば「5個」のように計算が可能になります。
「リンゴをx」「ミカンをy」として「2x+3y」のように「抽象化」しても良いです。



「現実を抽象化」した「数学」を使う事により
ある程度「現実を予測」可能となります。


「公理や公理系」から派生した間違えの無い「推論の命題」を何重にも積み重ねた結果が
公式などとなり、それらを土台とする事で数学で使用する「証明」は成り立っています。



「前提」と「仮定」
「前提」は「事実、仮定、定義(約束事)」、
「仮定」は「前提」も含まれる


「推論の命題」は「命題」だが実は「条件命題」と同じ意味(重要)
「推論の命題」は暗黙的に「命題」と言われる事があります。

  p(x)=xは6の倍数である
  q(x)=xは3の倍数である
  命題「p⇒q」(「pならばqである」)とは
  「」

執筆中です。
しばしまたれよ








「正命題」「反命題」と「矛盾と二律背反」
「二律背反」は「矛盾」と似ています。が少し違います。
普通は「AがBである」時、
  正命題「AはBである」は「真」(主張を肯定する命題、テーゼ)
  反命題「AはBでない」は「偽」(主張を否定する命題、アンチテーゼ)
となります。
「二律背反」とはこの二つの命題「正命題と反命題」が同時に成立する
  正命題「AはBである」は「真」、反命題「AはBでない」は「偽」
  反命題「AはBでない」は「真」、正命題「AはBである」は「真」
となり相反する物がどちらも正しくなってしまう状態です。
    正命題「世界は有限である」
    反命題「世界は無限である」
    正命題「猫は俊敏である」
    反命題「猫は俊敏でない」
「二律背反」となる二つの命題「正命題と反命題」は
どちらも「証明」出来てしまう為、必ず「矛盾」します。
「二律背反」は
  「命題pが真、命題¬pが偽」と「命題¬pが真、命題pが偽」
両方が正しい状態なので「矛盾」していまう。
(真偽の一方に決まらない。つまり命題にしてはいけない。)


「ゲーデルの不完全性定理」
当たり前の事ですが以下の理論により理論は構築が可能となっています。
  「命題」について「真と証明」できれば「真の命題」となる。
しかし、
  「命題」が「真の命題」である事が分かっていても、
  全の「真の命題」が「この命題は真」と「証明」できる訳では無い。
つまり、
  「分からない事(命題)が正しい」と言える場合も事もあるのだよと
  「ゲーデル」は「不完全性定理」を使い「証明」してしまいました。
この「不完全性定理」は
以下の「第一不完全性定理」と「第二不完全性定理」から成り立っています。
「第一不完全性定理」
  無矛盾な(矛盾のない)状態で組み立てた理論体系であるにもかかわらず、
  その理論体系内には「証明も反証も出来ない命題(パラドックス)」
  が必ず存在してしまう。
  (「証明不可能な命題」の事を「パラドックス」と言います。
  「ラッセルのパラドックス」などが有名)
「第二不完全性定理」
  無矛盾な(矛盾のない)状態で組み立てた理論体系Aにおいて、
  A自身では「無矛盾な(矛盾のない)状態で組み立てた理論体系Aである」とは
  証明出来ない。
「不完全性定理」以前と以降の「数学」
  最初に数学者の「ヒルベルト」が「数学理論は無矛盾である(一切の矛盾が無い)」
  と主張しました。
  実際「数学的な様々な証明」により「数学理論体系(定理や公式群)」が作られ、
    世の中の全ての事がこの「数学理論体系(定理や公式群)」の組合せにより
    真偽の判断が出来るようになるはずだ。
  と信じられて来ました。
  しかし、「ゲーテル」が「不完全性定理」を使い
    世の中の全てを「数学理論体系(定理や公式群)」で真偽を判断するのは不可能。
  と数学的に「証明」してしまいました。
  「不完全性定理」が「証明」されてからは、
    殆どの条件においては「数学理論は無矛盾である(矛盾が無い)」
    この「無矛盾」である条件下でならば、
    「数学理論体系(定理や公式群)」で真偽を判断する事が可能なので
    継続して便利な道具として使用するべきである。
  と考えられるようになり、
    「理論体系Aが無矛盾」である事を
    「他の理論体系Bによって証明」出来た時、
    「不完全性定理」は「自分自身の無矛盾を証明出来ない」としているので、
    「自分自身である理論体系A」と「理論体系B」は違う体系である事が
    「証明」できるようになった。(Bは自分自身Aではない)
  というような解釈も可能となりました。














  
  

「数学基礎論」「数理論理学」


「不完全性定理」









「推論の命題 背理法」(逆 裏 対偶)






「命題」を「背理法」で「証明」(「仮定 結論」「反例」「 否定 矛盾」)
「命題」の「仮定と結論」
  「命題」が以下のような式の時、
    「P ⇒ Q」(PならばQである)
  「Pを仮定」「Qを結論」と言います。
  (「Pを前件」「Qを後件」と言う事もあります)
    『「P仮定」を元に(使って)「Q結論」へと導く』
    『「P仮定」があって始めて「Q結論」が存在出来る』
    「P私は猫娘(6の倍数)」と「仮定」すると
    「Q私は猫人間(3の倍数)」でもあると「結論」出来る。
  のような関係になります。

「否定と反例」(「!(P⇒Q)」が「真」なら反例)
 「命題P ⇒ Q」を「否定」するとは以下の事を言います。
「命題の否定」となる「!(P⇒Q)」が「真」であれば、
  「(P ⇒ Q)ではない」
  「PであるがQとならない部分がある」
    (Pの一部がQとなる場合と、P全部がQにならない場合があります)
  「Pであるが、Pの全てをQは含まない」(Pが真、Qが偽)
    (Pの一部がQに含まれる場合と、Pの全てがQに含まれない場合があります)
と言う意味です。
「P⇒!Q」は「命題の否定」では無いので注意する事。
  「P⇒ (Qではない)」
  「PであるがQではない」
    (Qではない部分に全てのPがあります)
  「Pであれば、Pの全てをQでない部分が含む」(Pが真、!Qが真)
    (必ず、Qで無い部分に全部のPが含まれます)

 「命題P ⇒ Q」の「反例」を示すとは…
「命題」を「P仮定 ⇒ Q結論」
  「P仮定」が正しいならば「Q結論」も正しい
とした場合、
「命題の否定となる!(P ⇒ Q)」が
  「P仮定」は正しいのに「Q結論」が正しくならない
です。
「否定」に当てはまる例を挙げる事が「反例」を示す事となります。

  「命題P ⇒ Q」で、
    「命題の否定となる!(P⇒Q)」が「真」となる例
    「P仮定」は正しいのに「Q結論」が正しくならない例
  を示す事を「反例」を示すと言う事が分かった所で一つの例を挙げてみます。
  「命題の否定となる!(P⇒Q)」とは以下のような事を言います。
  「P私は猫娘(6の倍数)」と「仮定」したが
  「Q私は狼人間(8以下の数)」とは「結論」できない。
  次に「P仮定」は正しいのに「Q結論」が正しくならない例(反例)を示します。
  なぜならば
  「P猫娘(6の倍数)」である「猫人間(12)」は
  「Q狼人間(8以下の数)」ではないからだ。
このように「反例」を1つでも見つけることが出来た場合、
  その元となった「命題」は「証明されない」事が「証明」されます。
  次に、「命題」を「証明」する方法を学んで行きましょう。

「命題」を「背理法」で「証明」する(命題を否定したら矛盾するか?)
  「命題P ⇒ Q」が「真」である事を「証明」するには、
  「背理法」と言われる方法で「否定と矛盾」を使う事で「証明」出来ます。
  「背理法」とは「逆説(否定)」を「矛盾」させる事で「証明」を行う方法です。
  「命題」を「背理法」を使い「証明」してみます。
「命題P⇒Q」
  「PであるならばQに所属している」は「真」
  「P猫娘(6の倍数)」ならば「Q猫人間(3の倍数)」である
「背理法」の手順
1)「命題」を「否定!(P⇒Q)」した「新たな仮定」を立てます。
  「PであるならばQに所属しているとは限らない」は「真」である
  「P猫娘(6の倍数)」ならば「Q猫人間(3の倍数)」とは限らない
2)「新たな仮定」が「矛盾」するか調べます。
  「1)」で立てた「新たな仮定」が「矛盾」していれば
  最初の「命題」は正しいと「証明」された事になります。
  (「矛盾」しないで「反例」が示せた場合、
  「命題」は「証明」されない事になります。)


「背理法」「命題と非命題」














「証明」としての「P⇒Q」


「P⇒Q」を「論理の組み立て」に使う


恒真(トートロジー)と矛盾
「恒真(命題)」「トートロジー」
「恒真命題」の事を単に「恒真」や「トートロジー」と言う。

「トートロジー」「同じ事を二度言う」
技とはテクニックだ
「Aが真」&かつ「A⇒Bが真」ならば、「Bも真」
「「Aが真」ならば「B真」&かつ「Aが真」」ならば「Bも真
命題の式にすると「((A⇒B)∧A)⇒B

「p or !p」は恒真命題
他にも
「por !p」を「排中律」と呼ぶ場合がある
他にも
「por !p」を「矛盾」と呼ぶ場合がある

「複合命題」の真理値表の結果が常に「真」となる場合、
それを「恒真(命題)」と言う

「複合命題」で「p⇔q」となれば「恒真」
真理値表で常に「真」がでる場合は「恒真」


「恒真命題T」
「恒真命題」は「T」や「I」と記述できます。
「T」と「I」は「アルファベットのティーとアイ」
で入力出来ます。
「T」は常に「真」です。

「恒偽命題⊥」
「恒偽命題」は「⊥」や「F」や「O」と記述できます。
「⊥」は「キゴウ」、「F」と「O」は「アルファベットのエフとオー」
で入力出来ます。
「⊥」は常に「偽」です。



「論理的帰結⊨」
(P⇒Q) ⊨ (¬Q⇒¬P)
(QがPを含む)事には(¬Pが¬Qを含む)事が含まれる
(QがPを含む)事が(¬Pが¬Qを含む)事を含意する
「Aが恒真式Tである」時「A⊨」と書く事も出来ます。
恒真式とは…



「証明⊢」
(P ⇒ Q) ⊢ (¬Q ⇒ ¬P)
(QがPを含む)事から(¬Pが¬Qを含む)事が証明される











「矛盾(命題)」
「矛盾命題」の事を単に「矛盾」と言う。
「複合命題」の真理値表の結果が常に「偽」となる場合、
それを「矛盾(命題)」と言う


「三段論法」

P⇒Q
「ソクラテスは人間である」
Q⇒R
「全ての人間はいつか死ぬ」
P⇒R
「故にソクラテスはいつか死ぬ」

人間x=「ソクラテス」
関数P=「いつか死ぬ」
関数Pに変数「人間x」を(引数として)持たせる
P(x)=「xはいつか死ぬ」
P(「ソクラテス」)=「ソクラテスはいつか死ぬ」



「推論法 帰納法と演繹(エンエキ)法」

「帰納」(推論)
「結論」に「たぶん、おそらく」が付く
「結論」が確実に正しいとは保証されない


「数学的帰納法」(演繹)


三段論法も演繹法?

ごめんなさい執筆中です



「方程式」と「恒等式」の違い
「命題論理」と「述語論理」の前に必要な知識


自由変数と束縛変数
変数xにかんする「命題論理」と「述語論理」の前に必要な知識



「命題論理」と「述語論理」(量化子∀∃)


「命題論理」と「述語論理」(量化子∀∃)とは
「命題」と「条件(命題関数)」の考え方を比べてる時、
「命題論理」と「述語論理」と言った考えの述べ方があります。
「述語論理」では「条件」の事を「述語」と呼びます。

「命題論理」とは
「命題」についての論理(考え方)で、
  「かつ∧」「または∨」「でない¬」「ならば⇒」の
  「論理記号」を扱って「文章や言葉や式」から
  どのように「真の命題」「偽の命題」を導くのか
を考えたのが「命題論理」です。

「述語論理」とは
「条件、述語」について論理(考え方)で、
  「∧、∨、¬、⇒」にプラスして「全ての∀」や「ある∃」の
  「論理記号」を扱って「文章や言葉や式」から
  どのように「真理値表」の「真偽」を導くのか
を考えたのが「述語論理」です。
(「述語論理」には本来
「一階述語論理」と「二階述語論理」があり、
「一階述語論理」を「拡張」した物を「二階述語論理」と言います)
  「全ての∀」「ある∃」についてはここで初めて出た「論理記号」です。
  説明して行きます。

「量化子∀∃」とは
  「∀や∃」は合わせて「量化子」、「限定記号」、「限量記号」等と呼ばれますが、
    「∀」を「全称記号」ゼンショウキゴウ
      又は「全称量化子」「全称限量子」「全称限定子 普遍量化子 普通限定子」
    「∃」を「存在記号」ソンザイキゴウ
      又は「存在量化子」「存在限量子」「存在限定子」
  とそれぞれ呼びます。何故か呼び方が多数あり困りものです。
  「変数x(主語)」に対して「量化子∀∃」を使って
  「変数x」が「真」なる範囲を限定する(「議論領域、量化範囲」を指定する)事を
  「量化」と言います。
「∀x」とは「全てのxは」の事です。
「∃x」とは「あるxは」や「少なくとも1つのxは」の事です。
  この「変数x(主語)」を「猫」とすると、
「∀x(猫)」とは「全ての猫」の事です。
「∃x(猫)」とは「ある猫」や「少なくとも1匹の猫」の事です。
  となります。

「猫がニャアと鳴く」は事柄「p(x)」の形では「ニャアと鳴く( 猫 )」ですので
「命題p( 猫がニャアと鳴く )」と記述でき、「主語は猫」です。
  このような「命題p」を基本とした時、
  「∀xp(x)」や「∃xp(x)」のように「量化」すると下記のような解釈となります。

  「∀xp(x)」と「量化」した時は…
    「∀xp(x)」の「∀とpとx」それぞれをみた時、
    「∀x」とは「全てのx」、「p(x)」とは「xはpである」となるので
    「∀xp(x)」は「全てのxはpである」となります。
  「変数x(主語)=猫」、「p=ニャアと鳴く」であれば
    「∀xp(x)」=「全ての猫がニャアと鳴く」
  という「命題」となります。
  「∃xp(x)」と「量化」した時は…
    「∃xp(x)」の「∃とpとx」それぞれをみた時、
    「∃x」とは「あるx」、「p(x)」とは「あるxはpである」となるので
    「∃xp(x)」は「あるxはpである」や「少なくともxの1要素はpである」
    となります。
  「変数x(主語)=猫」、「p=ニャアと鳴く」であれば
    「∃xp(x)」=「少なくとも猫の中の1匹はニャアと鳴く」
  という「命題」となります。

「∀xp(x)」と「∃xp(x)」はよく使用される形です。
「∀と∃」それぞれについて個別に説明します。


普遍量化子「全ての∀」((任意の)全ての〜について〜である)
「∀」は「all(全ての)」の「A」を上下反転した記号です。
「条件、述語」で「変数x」を扱う時に
  「範囲(内の全ての要素)として変数x」を扱うのが「∀」
です。
「∀xp(x)」とした場合
  「任意の条件P(x)の範囲x全て」について「条件P(x)」が成り立つか
となります。
「条件P(全てのxは〜である)」は
  ∀xP(x)=「xは〜である」
  ∀xP( xは〜である )
  ∀x( xは〜である )
のように記述出来ます。
  画像入る
  「範囲(内全ての要素)」全体が「真」であれば「∀xP(x)」は「真」。
  「任意の条件P(x)の範囲内x全て」(全要素)が「真」であれば、
  「∀xP(x)」は「真」となります。

「∀x」や「P(x)」など「(範囲が定まらず、解決されない)変数x」が
記述されていればその式は「条件、述語」として扱います。
  「∀x( xはニャアと鳴く )」は「全てのxはニャアと鳴く」となり、
  「条件」です。
しかし「(範囲が定まり、解決される)変数x」の場合「命題」となります。
例えば、「xが猫」と決まった瞬間、
  「全ての猫はニャアと鳴く」「ニャアと全ての猫は鳴く」となり
  「真の命題」です。

「∀xp( x=4 )」は「真の命題」です。
  「x=4」が「真」となるxは「集合{−2,2}」の範囲が全ての為、
  「真(の命題)」です。
「∀xp( x*0=1 )」は「偽の命題」です。
  「x*0=1」が「真」となるxの範囲は存在しない為、
  「偽(の命題)」です。







ここから先は
執筆中です、
書き間違えもある為、しばしまたれよ
  
「∀xp(2*x=2)」
  「x*0=1」を満たすxの範囲

「∀x∈整数,p( x≧10 )」とした時、
  「x≧10」を満たすxは
  「10以上の範囲の全ての整数{10, 11, 12 , 13 ,…}」を指す為、
  「∀x∈整数,p( x≧10 )」は「真の命題」となります。
「∀x∈整数,p( x*0=1)」とした時、
  「x*0=1」を満たすxは存在しない為、
  「∀x∈整数R,p( x*0=1)」は「偽の命題」となります。
「全ての」は「任意の」は同じ意味です。注意して下さい!
「条件pの範囲全て」と「任意の範囲である条件p」では意味が同じとなる為です。


存在量化子「ある∃」(あるxを満たす〜が存在する)
「∃(ある)」は「exists(存在する)」の「E」を左右反転した記号です。
「条件、述語」で「変数x」を扱う時に
  「要素として変数x」を扱うのが「∃」
です。
「∃xp(x)」とした場合
  「条件P(x)」が「真」となる「ある範囲xやある要素x」が存在する
  「あるx」は「条件p」が「真」となる。その結果「あるx」は存在する
  「条件p」が「真」となる「あるx」が1要素以上存在する
という「命題」となります。(「条件p(x)」は「命題∃xp(x)」となる)
「条件P(あるxは〜である)」は
  ∃xP(x)=「xは〜である」
  ∃xP( xは〜である )
のように記述出来ます。
(「∀x」や「変数x」が記述されていればその式は「条件、述語」として扱います)
  画像は入る
  「要素の存在」にフューチャーしたイメージです
  「ある条件P(x)」の範囲内に「範囲xや要素x」の中に「1つでも真となる要素」
  (真となる要素の存在は1つでなく複数要素の範囲でも構いません。)
例:
「ある猫はニャアと鳴く」「あるニャアと鳴く猫が存在する」
「∃xp( x*2=2 )」
「∃xp(x2=4)」


「∃x∈整数、p( x≧10 )」とした時、
  「x≧10」を満たす要素xが少なくとも1つは存在する為、
  「∃x∈整数,p( x≧10 )」は「真の命題」となります。
「∃x∈整数,p( x*2=2)」とした時、
  「x*2=2」を満たすxは「1」が存在する為、
  「∃x∈整数,p( x*2=2)」は「真の命題」となります。
「ある〜は〜である」は「ある〜は〜に存在する
「ある(要素x)は(条件xに要素xとして)存在する」という意味です。


「∀」と「∃」の違い(「全ての∀」と「ある存在∃」の「否定¬」)
「条件p」が
  条件p(x)=「猫はニャアと鳴く」
の場合
  「∀xp(x)」は「全ての猫はニャアと鳴く」
  「∃xp(x)」は「あるニャアと鳴く猫が存在する」
となります。

条件p(x)は「∃xp(x)」となると命題となります



「全ての∀、任意の∀」と「ある∃」の「否定¬」
「全ての∀、任意の∀」は「ある∃」と同じように扱って問題ないが、
「否定¬」の時だけは注意する必要があります。

「全てのxは〜である」の




「∀xP(x)」と「¬∃x¬P(x)」は同じ事
  「∀xP(x)」は「¬∃x¬P(x)」と記述出来ます。

  「¬∃x¬P(x)」は
    条件Pに当てはまらないあるxは1つも存在しない
  という意味なので、
  「∀xP(x)」
    全てのxは条件P(x)に当てはまる
  と同じ事となります。

「n項述語」について


・「条件、述語」の時「∀x」「∃x」を省略して記述する。




「一階述語論理」と「二階述語論理」(∀∃)


「一階述語論理」と「二階述語論理」
「述語論理」には「一階述語論理」と「二階述語論理」があり、
「一階述語論理」を「拡張」した物を「二階述語論理」と言います。







「P⇒Q」を「論理の組み立て」に使う
他に、「全ての、任意の(∀)」と「ある(∃)」の「論理記号」についても説明します。

「∀x:P(x)」(任意の範囲である)全てのxに対してP(x)が成り立つ
「∃x:P(x)」P(x)が成り立つxが存在する

証明において、
「全ての、任意の」は「ある」と同じように使って問題ないが、
「否定」の時のみ注意が必要

「全ての猫は にゃぁ と鳴く」
の否定は
「ある猫は にゃぁ と鳴かない」
「全ての猫が にゃぁ と鳴くわけではない」
となる

「全ての猫が にゃぁ と鳴かない」だと全否定となってしまい否定として誤り

「全ての猫が にゃぁ と鳴くわけではない」だと部分否定となり正しい否定となる


命題論理
「p ならば q である」「p ⇒ q」の論理式を使って
「仮定 ⇒ 結論」が正しいかの「推論」を行う。
「推論」には「接続詞∧∨」「否定¬」が含まれる。

述語論理
「命題論理」での「論理記号⇒∧∨¬」を使った論理式の他に
「全ての、任意の(∀)」と「ある(∃)」の「論理記号」を使用できる。

「猫 は 動物です」は「真」
「ある 猫 は動物です」は「真」
「全ての 猫は動物です」「真」
「動物 は 猫 です」は「偽」
「全ての 動物 は 猫 です」は「偽」
「ある 動物 は 猫 です」は「真」



トートロジーの事を
「トートロジーは証明可能である」事を
「一階述語論理の完全性定理」「ゲーデルの完全性定理」等と呼ぶ
(「ゲーデルの不完全性定理」と言われる物も存在する。)


「xは嘘しか話しません」と「xが真実を話した」
xの言っている事は「真?偽?」
ラッセルのパラドックス


supとmaxについて書く?



C# 統計・微分積分・線形代数への道
次へ→http://1studying.blogspot.jp/2017/08/senkei-index.html#kuw06





以下のサイトを参考にしました。


wiki:集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88

集合と要素[わかりやすい説明と記号の書き方・練習問題]
http://manapedia.jp/text/2478

【プログラマーのための数学】集合と要素
http://qiita.com/Esfahan/items/5e0246ba511d5e4a132d

有理数と無理数とはなんだろう??
http://media.qikeru.me/rational-irrational-number/

【集合】必ず覚えなくてはならない6つの記号&3つの法則
https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/shugou.html

【辞書】集合の要素の書き方
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00040

単語記事: 命題
http://dic.nicovideo.jp/a/%E5%91%BD%E9%A1%8C

七誌の開発日記
論理包含の定義に関する違和感について
http://7shi.hateblo.jp/entry/2016/07/31/143604

wiki:論理包含
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%8C%85%E5%90%AB

命題(逆・裏・対偶・真偽)を図説で即理解!
https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/meidai.html

逆,裏,対偶
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/gyaku.htm

論理演算について
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13103965978
数学(必要十分条件)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1444478239?__ysp=6KuW55CG5YyF5ZCr

論理記号
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/meidai/meidai.htm

yahoo知恵袋:「空集合は任意の集合の部分集合である」ことを証明
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1087269095
yahoo知恵袋:空集合(Φ)の補集合は全体集合(U)であることを示せ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12137370092
人力検索はてな:「集合」と「部分集合⊆」での「空集合Φ」の扱いの違い
http://q.hatena.ne.jp/1461983533

具体例で学ぶ数学 「べき集合の意味と要素数」
https://mathwords.net/bekisyugou
べき集合の濃度
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/taikaku/node6.html
Wiki:冪集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
yahoo知恵袋:すべての集合を含む集合を考えると矛盾が生じる
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11112395836
「集合系」ないし「広義の集合族」と「ベキ集合」
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Sets/PowerSetSyugoKei.htm

恒真命題/恒偽命題
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/meidai/tautology.htm





Wiki:全否定と部分否定
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%A6%E5%AE%9A#全否定と部分否定



yahoo知恵袋:理論立てる、論理立てる。どちらが正しい日本語ですか?
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1485818299


Wiki:ゲーデルの不完全性定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/ゲーデルの不完全性定理#概要

Wiki:論理記号の一覧
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7

Wiki数学記号の表
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

数式記号の読み方・表し方
http://izumi-math.jp/sanae/report/suusiki/suusiki.htm




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